生化危机数学模型.

321生化危机王鑫、闵安游马征、张孟辉研究背景•一、生化武器发展将进一步加剧军事领域的竞争。•二、生化武器履约困难将阻碍军控领域的有效合作。•三、生化安全环境恶化对国家安全将构成直接威胁。•四、生化技术发展失衡将使安全预防更加困难。研究方向感染过程•通过建立数学模型初步判断丧尸病毒感染过程中各个阶段的感染情况。作战过程•通过建立数学模型，对如何与丧尸战斗做出合理规划。感染过程假设：人口充足，感染过程中人口分布均匀，丧尸感染率为100%，且每个丧尸均有机会感染人类。设爆发的时间为t，丧尸总数x为与t有关的i(t)，则丧尸的增长速率，或称感染速率为di/dt为假设每一个丧尸在单位时间内平均感染k个人类,则i(t)满足微分方程𝑑𝑖𝑑𝑡=ki当t=0时初始丧尸数x(0)=x0，则微分方程解为i(t)=𝑖0𝑒𝑘𝑡,t≥0令t趋近于无穷，有x趋近于无穷，显然与事实不符。故此函数只适用于感染初期。感染初期丧尸数量小，人类众多且没有采取有效隔离措施，符合假设。随着丧尸数目增长，幸存者数目减少，丧尸感染量减少，数目增长受到限制，因此有必要对丧尸单位时间内感染率进行优化模型优化•假设：只有外部与人类接触的丧尸可以感染人类。丧尸分布均匀。丧尸单位时间最大感染量为𝑘0.•设丧尸数目为x，则不与人类直接接触的数目为𝑖−22,外部可以感染人类的数目为i-𝑖−22感染速率为𝑑𝑖𝑑𝑡=𝑘0*[i-𝑖−22].解得𝑖+ln(𝑖−1)=2𝑘0t+C假设武汉市爆发生化危机，最初的丧尸的个数𝑖0为50，假设一个丧尸每天能感染100个健康人。武汉市人口为1200万，经过计算得到，武汉市全部感染需要17.3天。•考虑到丧尸数的有界性，引入上界，即令爆发城市的总人数为M，则幸存者数量为M-I(t)。应用传染病SI模型，把城市人口分为未感染者S和感染者I两个集合，其人数比例分别记做S(t)，I(t).(即S(t)+I(t)=1)•疾病传播一般服从以下法则：•法则1在所考虑的时期内，人口总数保持在固定水平M。•法则2单位时间内一个病人可传染的人数与当时健康人数成正比，比例系数为𝜆。•其数学模型如下：•••••其中S(0)，I(0)为初始状态，常数𝜆和𝛼分别称为传染率和移除率，其值均大于等于零。•具体到丧尸问题，𝜆=𝑘/𝑀，𝛼=0.分离变量并求积分得解：I(t)=𝑀1+(𝑀𝑖0−1)𝑒−𝜆𝑀𝑡,t≥0作I(t)关于t的图，可得logistic曲线。分析：𝑑i𝑑t的极大值点为t1=ln(𝑛𝑖0−1)𝜆𝑛,这可以表示感染高峰时刻。随着丧尸增多，人类减少，被传染机会也将降低。若每个丧尸感染能力增强，即𝜆增大，𝑡1减小，则感染高峰来的快。由以上可得出结论：爆发中期感染速率最快，向两端递减至趋近0。所以个人应避免在中期离开据点。被感染的几率正相关于丧尸数，即正相关于时间。所以爆发初期是最安全的时刻，应抓住机会逃离。政府应尽快采取措施消灭丧尸，避免造成重大伤亡。人尸大战基本假设：丧尸只有“未被毁灭，具有杀伤力”和“被毁灭，无杀伤力”两种状态。变量设置：A.攻击率（人类）：单次攻击使丧尸致死的概率D.攻击率（丧尸）：单次攻击使人类感染的概率T.连续使用武器攻击的时间间隔。T1为人，T2为丧尸假设对一只丧尸发起进攻，连续打击直至毁灭丧尸，由前面基本假设可知，每次攻击独立。令X代表所需攻击次数。模型为伯努利实验模型。若第k攻击毁灭丧尸，则P{X=k}=A(1−𝐴)𝑘−1，k=1,2,3...E(X)=𝑘𝐴(1−𝐴)𝐾−1∞𝑘=1=…=1𝐴设n为毁灭一个丧尸需要的平均攻击次数，则n1大致等于E（X），而毁灭丧尸所需的时间为t1=n1*T1同理若丧尸第k次攻击人类，则P{Y=k}=D(1−𝐷)𝑘−1，k=1,2,3...E(Y)=𝑘𝐷(1−𝐷)𝐾−1∞𝑘=1=…=1𝐷设n为感染一个人需要的平均攻击次数，则n2大致等于E（Y），而丧尸感染人所需的时间为t2=n2*T2对于不同情况给出不同的A、D、T的值，即可从理论上计算，人类和一只丧尸战斗时，谁先死亡。例：普通人使用斧子和一只普通丧尸战斗，估计A=0.8，D=0.2，T1=0.4s，T2=0.2s。带入得E（X）=1/A=1/0.8=1.25,t1=n1*T1=5sE（Y）=1/D=1/0.2=5,t2=n2*T2=10s根据上述计算结果一个普通人使用斧子和一只丧尸单挑是比较安全的。模型拓展从一个人VS一个丧尸，拓展到一个人VSm个丧尸假定丧尸在被毁灭前一直持续攻击，且丧尸之间攻击不受影响，人类单次攻击最多只能毁灭一头丧尸。人类毁灭m个丧尸需要m*n1次攻击，耗时t=m*n1*T1.则最后一头被毁灭的丧尸攻击了t/T2次，倒数第二头攻击了（t-t1）/T2，以此类推最先被毁灭的丧尸攻击了t1/T2次；求和得丧尸攻击总次数为n=t1*（1+m）*m/2T2.再次带入斧子的数据求得当m≥2时，人类无法战胜丧尸。我们希望对人和丧尸的攻击能力进行进一步细化的评估，为此加入一些影响攻击能力的因素。对于人，我们考虑在使用不同武器（棍，斧，枪）时，攻击的伤害值，命中率，安全距离。对于丧尸，我们考虑不同丧尸（a，b）的自身属性，分别为攻击力，防御力，敏捷性。分别对三种武器的攻击能力进行评估（目标层）攻击能力（准则层）命中率伤害值安全距离（方案层）棍斧枪准则层比较判断矩阵攻击能力命中率伤害值安全距离命中率11/33伤害值317安全距离1/31/71方案层比较判断矩阵命中率棍斧枪棍135斧1/314枪1/51/41伤害值棍斧枪棍11/51/9斧511/3枪931安全距离棍斧枪棍11/21/6斧211/5枪651层次单排序，层次总排序及一致性检验计算结果表准则命中率伤害值安全距离总排序权值准则层权值0.242640.66940.0879方案层单排序权值棍0.62670.06290.10200.2026斧0.27970.26540.17210.2582枪0.09360.67160.72580.5392最大特征值3.08583.02913.02913.0070CR值0.07390.02510.02510.0061可以看出对这三种武器的综合评估结果是枪优于斧头优于棍对丧尸的攻击能力进行评估目标层攻击能力准则层攻防敏方案层ab准则层比较判断矩阵•最大特征值：3.007•权值：0.6694:0.0879:0.2426•CR：0.0061攻击能力攻防敏攻173防1/711/3敏1/331方案层比较判断矩阵敏aba11/5b51防aba12b1/21攻aba13b1/31同前文可以计算出总排序权值：a:b=0.5998:0.4002也就是说a种丧尸比b种丧尸对人类的威胁更大。我们希望得到一个攻击能力与单次致死概率之间的对应关系，这样就可以使用前文中的对抗模型。还可做如下优化：1.在估计丧尸数量增长的模型中还要加入其它制约因数。2.在武器的攻击能力与攻击率还有丧尸攻击能力与攻击率之间缺乏明确的转换公式，需要实际测验才能给出数据。