第6讲分式方程一轮复习

第6讲分式方程表头加底纹注意事项：只是章首页下的表格加底纹，其他不加考纲要求命题趋势1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题．3．会列分式方程解决实际问题.中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.知识梳理一、分式方程1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征：(1)增根使__________为零；(2)增根是分式方程化成的__________方程的根．二、分式方程的基本解法解分式方程的一般步骤：(1)去分母，把分式方程转化为__________方程．(2)解这个整式方程，求得方程的根．(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．三、分式方程的实际应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；(2)检验所求的解是否符合实际．自主测试1．分式方程32x－4－xx－2＝12的解为()A．x＝52B．x＝53C．x＝5D．无解2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是()A．25x＝35x－20B．25x－20＝35xC．25x＝35x＋20D．25x＋20＝35x3．已知关于x的分式方程a＋2x＋1＝1的解是非正数，则a的取值范围是__________．考点一、分式方程的解法【例1】解方程：x＋12x＝x＋13.分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．解：原方程两边同乘6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)，整理得2x2－x－3＝0，解得x＝－1或x＝32.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x＝－1或x＝32.方法总结解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．触类旁通1解方程：xx＋2＋x＋2x－2＝8x2－4.【例2】解方程：x－1x＋xx－1＝52.解：设x－1x＝y，则原方程化为y＋1y＝52.解得y1＝2，y2＝12.当y＝2时，x－1x＝2，解得x＝－1；当y＝12时，x－1x＝12，解得x＝2.经检验，x1＝－1，x2＝2均符合题意，所以原方程的解为x1＝－1，x2＝2.方法总结解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如2xx－1＋x－1x＝52，由于xx－1与x－1x互为倒数，当设xx－1＝y时，原方程可化为2y＋1y＝52；第二种情况是“平方型”，如x－1x2－2x－1x－3＝0，此时设x－1x＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0.触类旁通2方程66x＋3－60x＝0的根是________．考点二、分式方程的增根【例3】分式方程xx－1－1＝mx－1x＋2有增根，则m的值为()A．0或3B．1C．1或－2D．3解析：由(x－1)(x＋2)＝0得增根可能是x＝1或x＝－2，把方程两边都乘(x－1)(x＋2)得x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当x＝1时，得m＝3，当x＝－2时，得m＝0，此时方程变为xx－1－1＝0，即x＝x－1，此时方程无解，故m＝0舍去，∴当m＝3时，原方程有增根x＝1.答案：D方法总结利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．触类旁通3若解分式方程mx＋1x－1＝－1时产生增根，则m的值是()A．0B．1C．－1D．±1考点三、分式方程的应用【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得26x－26x＋3＝0.6，化简，得x2＋3x－130＝0，解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10.经检验：x＝10符合题意．答：该品牌饮料一箱有10瓶．方法总结列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．触类旁通4某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？1．(2012浙江丽水)把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)2．(2012四川宜宾)分式方程12x2－9－2x－3＝1x＋3的解为()A．3B．－3C．无解D．3或－33．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是()A．40x＋20＝34×40xB．40x＝34×40x＋20C．40x＋20＋14＝40xD．40x＝40x＋20－144．(2012四川攀枝花)若分式方程：2＋1－kxx－2＝12－x有增根，则k＝__________.5．(2012广东梅州)解方程：4x2－1＋x＋21－x＝－1.6．(2012山东临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件．若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的37倍．求手工每小时加工产品的数量．1．解方程xx2－1＋2x2－1x＝3时，设xx2－1＝y，则原方程化为y的整式方程为()A．2y2－6y＋1＝0B．y2－3y＋2＝0C．2y2－3y＋1＝0D．y2＋2y－3＝02．分式方程2x－5x－2＝32－x的解是()A．x＝－2B．x＝2C．x＝1D．x＝1或x＝23．若关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0没有增根，则m的值不能是()A．3B．2C．1D．－14．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为()A．1080x＝1080x－15＋12B．1080x＝1080x－15－12C．1080x＝1080x＋15－12D．1080x＝1080x＋15＋125．已知x＝1是分式方程1x＋1＝3kx的根，则实数k＝________.6．若2x－1与1互为相反数，则x的值是__________．7．已知关于x的方程2x＋mx－2＝3的解是正数，则m的取值范围为__________．8．解分式方程：(1)xx＋1＋1＝2x＋1x；(2)1x＋1－2xx2－1＝1.9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．参考答案导学必备知识自主测试1．B去分母，得3－2x＝x－2，解得x＝53.经检验x＝53是原方程的解．2．C相等关系为：货车行驶25千米所用时间＝小车行驶35千米所用时间．3．a≤－1去分母，得a＋2＝x＋1，解得x＝a＋1，由题意得a＋1≤0，所以a≤－1.探究考点方法触类旁通1．解：去分母，得x(x－2)＋(x＋2)2＝8.去括号，得x2－2x＋x2＋4x＋4＝8.整理，得x2＋x－2＝0.解得x1＝－2，x2＝1.检验，当x1＝－2时，x2－4＝4－4＝0，∴x1＝－2是增根；当x2＝1时，x2－4＝1－4＝－3≠0，∴原方程的根是x＝1.触类旁通2．解：66x＋3－60x＝0，60x＋180＝66x，x＝30.触类旁通3．C使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．∵mx＋1x－1＝－1有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当x＝1时，解得m＝－1.触类旁通4．解：(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程．由题意，得201x＋1x＋30＝1，整理，得x2－10x－600＝0，解得x1＝30，x2＝－20.经检验：x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解．但x2＝－20不符合题意舍去，x＋30＝60.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．(2)设甲单独做a天后，甲、乙再合作20－a3天，可以完成此项工程．(3)由题意，得1×a＋(1＋2.5)20－a3≤64，解得a≥36.答：甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．品鉴经典考题1．D2．C解方程去分母得12－2(x＋3)＝x－3解得x＝3，经检验x＝3是原方程的增根，原方程无解．3．A因为公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为(x＋20)千米/时，小王乘公共汽车从甲地到乙地所花的时间为40x小时，回来时路上所花时间为40x＋20小时，根据相等关系：回来时路上所花时间＝去时路上所花时间×34，列方程为40x＋20＝34×40x.4．1解方程去分母得2(x－2)＋1－kx＝－1，由于原方程有增根，则x＝2，解得k＝1.5．解：方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x2－1)，整理，得3x＝1，解得x＝13.经检验，x＝13是原方程的解．故原方程的解是x＝13.6．解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品(2x＋9)件．根据题意，得1800x×37＝18002x＋9.解这个方程，得x＝27.经检验，x＝27是原方程的解．答：手工每小时加工产品27件．研习预测试题1．B设xx2－1＝y，则原方程化为y＋2y＝3，去分母移项得y2－3y＋2＝0.2．C去分母，得2x－5＝－3，解得x＝1.检验，当x＝1时，x－2≠0，所以原方程的解为x＝1.3．B将分式方程两边都乘以(x－1)，得m－1－x＝0，把x＝1代入m－1－x＝0，解得m＝2.所以若原分式方程没有增根，则m≠2.4．B因为B型包装箱每个可以装x件文具，则A型包装箱每个可以装(x－15)件文具．相等关系为：单独使用B型包装箱数＝单独使用A型包装箱数－12，列方程为1080x＝1080x－15－12.5．16把x＝1代入方程，得12＝3k，解得k＝16.6．－1由题意，得2x－1＋1＝0，所以2＋(x－1)＝0，所以x＝－1.经检验x＝－1是方程2x－1＋1＝0的解．7．m＞－6且m≠－4由2x＋mx－2＝3，得x＝m＋6，∴m＋6＞0，m＞－6.又∵x－2≠0，即x≠