第7.1节差分的基本概念

第第第二二二四四四讲讲讲微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：差分概念引入、差分的定义差分的几何意义及经济意义教学目的：理解差分的概念、几何及经济意义教学方法：利用多媒体进行启发式教学教学重点：对差分的定义及经济意义的理解教学难点：高阶差分计算公式及计算高阶差分教学过程1.差分概念的引入（引例）例1已知某公司1999年前)12,,2,1(tt个月的销售额tY如表1所示：表.1t（月）123456tY（万元）80．5161．5234．4324．8407．9490．5t（月）789101112tY（万元）572．7655．8740．2825．4910993．9若记该公司在)12,,2,1(tt月份的销售额为ty，则有12,,2111tYYtYyttt具体如表2所示：表.2t（月）123456ty（万元）80．581．581．981．483．182．6t（月）789101112ty（万元）82．283．184．485．284．683．9若记该公司在t月份相对于其前一月份的月增长额为)12,,2(tyt，则有)12,,3,2(1tyyyttt具体如表3所示：表.3t（月）234567ty（万元）0．50．9-0．51．7-0．5-0．4t（月）89101112ty（万元）0．91．30．8-0．6-0．7例2假设某家庭开车外出旅行，每小时后记录下的里程表中读出的总的行程数)6,,2,1,0(tSt，如表4所示：表4t(小时)0123456tS(公里)22300223222235422403224522248122513教学心得若用tS表示在第)6,,2,1(tt小时所行驶的路程，则有)6,,2,1(1tSSSttt具体如表5所示：表.5t(小时)123456tS(公里)2232494929322差分的定义对于已知函数)(tfyt，其自变量t（通常表示时间）取离散的等间隔的整数值：,3,2,1,0t称)()1(1tftfyytt为函数)(tfyt在t时刻的一阶差分(first-orderdifference)，记作ty,即)()1(1tftfyyyttt依此定义有)1()2(121tftfyyyttt)2()3(232tftfyyyttt称一阶差分ty的一阶差分为函数)(tfyt在t时刻的二阶差分(second-orderdifference)，记作ty2,即tttttttttttyyyyyyyyyyy12112122)()()(依二阶差分的定义有123122ttttyyyy234222ttttyyyy注：二阶差分ty2中的上标2表示差分运算重复了两次，即差分算子使用了两次。依此类推，计算二阶差分的一阶差分，便可得到三阶差分(third-orderdifference)，记作ty3，即ttttyyyy21223)()2()2(12123ttttttyyyyyyttttyyyy1233312341333tttttyyyyy教学札记教学心得同样可以定义四阶差分、五阶差分，……更一般地，函数)(tfyt在t时刻的k阶差分(kth-orderdifference)tky（k为整数）定义为其1k阶差分的一阶差分，即),3,2,1()1()(01kyCyyiktkiikitktk其中])!(![!ikikCik。二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分(higerdifference)。说明，若函数中自变量的个数多于一个时，与定义偏导数相类似可定义多元函数的偏差分(partialdifference).3差分的几何意义及经济意义差分的几何意义：由差分的定义知：函数)(tfyt在t时刻的一阶差分tttftftftfyyyttt)1()()1()()1(1其几何意义表示函数)(tfyt上的点),(tyt与点),1(1tyt所在的直线的斜率（见图1）。差分的经济意义：设消费者在一定时间内消费某种商品x个单位时所产生的总的效用为)(xUU。当消费商品量由x个单位变为1x个单位时，总效用的增加量为)()1(xUxUU表示该商品消费量为x个单位时的边际效用，即总效用)(xUU的一阶差分U的经济意义为：当消费量为x个单位时，再多消费一个单位的商品所产生的效用的增加，亦即消费第1x个单位的商品所产生的效用。（如图2所示）4差分的性质及运算法则性质1：0C（C为常数）性质2：ttttzyzy)(更一般地有：)()2()1()()2()1()(ntttntttyyyyyy性质3：ttttttttttzyyzzyyzzy11)(特别地，当Czt（C为常数）有教学札记教学心得t1tty1tytyty图1x1x)(xU)1(xUxUxU图2推论1：ttyCCy)(一般地有，推论2：)()()2(2)1(1ntnttyCyCyC)()2(2)1(1ntnttyCyCyC性质4：1ttttttttzzzyyzzy5例题例1设1),1()2)(1()0()(xnxxxxxn求)(2)(,nnxx。6课后作业教学札记教学心得