第7.2节差分方程的概念

第第第二二二五五五讲讲讲微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：差分方程概念引入、差分方程的定义及差分方程的阶、差分方程的解、线性差分方程及其解的结构教学目的：理解差分方程及差分方程解的概念教学方法：利用多媒体及黑板相结合进行教学教学重点：对两个差分方程的定义的理解教学难点：线性差分方程的定义及其解的结构教学过程1.差分方程概念的引入（引例）例1已知函数)(tfyt在t时刻一阶差分为t2，据一阶差分的定义有关系式tyt2例2某客户在农行开了一个账户，银行按每年付给%5的利息。假设该客户既不加进存款也不取钱，若用tY表示t年后的存款余额，则紧挨着的两年的存款余额之间的关系为ttttYYYY05.105.012差分方程的定义及差分方程的阶定义1：含有自变量t，未知函数ty以及未知函数的差分ty、ty2、…的函数方程称为常差分方程，简称为差分方程，也简称为方程。出现在差分方程中的未知函数ty的差分的最高阶数，称为该差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为0),,,,(tnttyyytF其中t为自变量，ty为未知函数；),,,,(tnttyyytF是,,,ttyyt,tny的已知函数关系式，且tny一定要出现，而,,,,ttyyttny1等可以不出现。注：如果方程中的未知函数是多元函数（未知函数的差分为偏差分），则称该方称为偏差分方程。定义2：含有自变量t和未知函数ty的两个或两个以上的函数值ty、1ty、……的函数方程称为差分方程，简称为方程。这时，称方程中时间脚标的最大差为该差分方程的阶。按此定义，n阶差分方程的一般形式为0),,,,(1ntttyyytF（*）其中t为自变量，ty为未知函数；),,,,(1ntttyyytF是,,,1ttyyt,nty的已知函数关系式，且ty与nty一定要出现，而,,,1tyt1nty等可以不出现。注：关于差分方程及其阶数的上述两种定义不是完全等价的。教学心得3差分方程的解同微分方程一样，在实际问题中还需找出满足差分方程的函数（解差分方程），即找出这样的函数，将其带入方程中能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该方程的解。一般地，如果函数)(tyt满足方程（*），即0))(,),1(),(,(nttttF（,2,1,0t）则称函数)(tyt为方程（*）的解。如果方程（*）的解中含有n（与方程的阶数相同）个相互独立的任意常数，即),,,,(21ntcccty（nccc,,,21为n个相互独立的任意常数）这样的解就称为方程（*）的通解。在通解中，当任意常数nccc,,,21取为确定的值而得到的相应的解，称为方程（*）的一个特解。由通解确定差分方程的具有某特点的特解，需要给出确定此特解应满足的附加条件，称为方程的初始条件4线性差分方程及其解的结构线性差分方程若（*）左端函数F为ntttyyy,,,1的线性函数，则称此方程为n阶线性（差分）方程。一般形式为)()()()(1111tfytaytaytaytntnntnt（1）其中)(),(,),(11tatatann和)(tf均为自变量t的已知函数，且)(tan不恒等于零。如果0)(tf，称（1）的相应方程0)()()(1111tntnntntytaytaytay（2）为n阶齐次线性差分方程，简称为齐次线性差分方程。如果)(tf不恒等于零，称方程（1）为n阶非齐次线性差分方程，简称为非齐次线性差分方程。并且通常称方程（2）为方程（1）的对应齐次方程。如果nnnnataataata)(,)(,,)(1111为常数，则有方程)(1111tfyayayaytntnntnt（3）01111tntnntntyayayay（4）称方程（3）为n阶常系数非齐次线性差分方程，方程（4）为n阶常系数齐次线性差分方程。齐次线性差分方程的通解结构定理8.2.1n阶齐次线性差分方程（2）一定存在n个线性无关的特解.定理8.2.2（叠加原理）如果)(,),(),(21tytytyk是齐次线性差分方程（2）的k个解，则它们的线性组合)()()(2211tyctyctycykk仍是差分方程（2）的解，其中kccc,,,21为k个任意常数。定理8.2.3（通解结构定理）如果)(,),(),(21tytytyn是齐次线性差分方程（2）的n个线性无关解，则差分方程（2）的通解为)()()()(2211tyctyctyctynn其中nccc,,,21为n个任意常数。教学札记教学心得非齐次线性差分方程的通解结构性质1如果)(~ty是非齐次差分方程（1）的解，而)(ty是其对应齐次差分方程（2）的解，则)()(~tyty也是方程（1）的解。性质2如果)(1ty与)(2ty为非齐次差分方程（1）的解，则它们的差)(1ty)(2ty为对应齐次差分方程（2）的解。定理8.2.4如果)(~ty是差分方程（1）的一个特解，)(tyc是其对应齐次差分方程（2）的通解，则)()(~tytyyct就是差分方程（1）的通解。5课后作业教学札记教学心得