第7章电磁感应与电磁场

1第七章电磁感应与电磁场思考题7-1一个导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况下，那些会产生感应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿垂直方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。答：(1)当线圈沿磁场方向平移和沿垂直方向平移时，磁感应强度和面积矢量方向相同，且大小不变，所以，磁通量也保持不变。由法拉第电磁感应定律d/dΦte=-可知，线圈中感应电动势为零，因而线圈中也就没有感应电流。(2)在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向平行）转动过程中，磁感应强度和面积矢量方向保持垂直，磁通量为零，因此，线圈中也没有感应电流。(3)在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向垂直）转动过程时，由于磁通量为cosBSq，其中q是磁感应强度和面积法向矢量方向的夹角，它随时间的变化而变化。所以，磁通量发生变化，线圈中会产生感应电动势，也就有感应电流产生。7-2灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就会发生偏转，切断电流后线圈在回到原来位置前总要来回摆动几次。这时，如果用导线把线圈的两个头短路，摆动就会马上停止，这是为什么？答：处于永磁体磁场中的灵敏电流计的通电线圈要受到四个力矩的作用，它们是：（1）磁场对线圈的电磁力矩BSNIg，其中，B为磁场的磁感应强度，S为线圈的截面积，N为线圈的总匝数，Ig为线圈中通过的电流；（2）线圈转动时张丝扭转而产生的反抗（恢复）力矩－Dθ，其中，D为张丝的扭转系数，θ为线圈的偏转角；（3）电磁阻尼力矩；（4）空气阻尼力矩。电磁阻尼力矩产生的原因是因为线圈在磁场中运动时的电磁感应现象。根据电磁感应定律，线圈在磁场中运动时会产生感应电动势。灵敏电流计的内阻Rg和外电路的电阻R构成一个回路，因而有感应电流i流过线圈，这个电流又与磁场相互作用，产生了一个阻止线圈运动的电磁阻尼力矩M。可以证明，M与回路的总电阻Rg+R成反比，有tBNSiMdd其中，RRSNBg222，称为阻尼系数。当用导线把线圈的两个头短路时，外电路的电阻R减小，阻尼系数增大，电磁阻尼力矩M增大。设计时使短路后的外阻等于临界阻尼，摆动就会马上停止。7-3变压器的铁芯为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？答：变压器中的铁芯由于处在交变电流的磁场中，因而在铁芯内部要出现涡流，由于金属导体电阻很小，涡流会很大，从而产生大量的焦耳热，使铁芯发热，浪费电能，甚至引起事故。为了较少涡流，将铁芯做成片状，而且涂上绝缘漆相2互隔开，可以减小电流的截面，增大电阻，减小涡流，使涡流损耗也随之减小。为了减小磁通量，进而减小涡流，铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向平行。7-4让一块磁铁在一根长的铅直管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。答：磁铁入管前后，铁管中磁通量发生变化而出现感生电流，从而阻碍磁铁的运动，此时磁铁作加速度小于重力加速度的加速运动。磁铁在管内运动时，铁管中磁通量不发生变化，此时磁铁作自由落体运动。磁铁出管前后，管中也出现感生电流，磁铁的运动受到阻碍，作加速度小于重力加速度的加速运动。7-5要求用金属线绕制的标准电阻无自感，怎样绕制才能达到此目的？答：将金属线对折，然后绕成螺线圈。螺线圈内的磁感应强度为零，电阻也就无自感。7-6什么叫位移电流？位移电流和传导电流有什么不同？答：通过电场中某一横截面的位移电流等于通过该截面电位移通量的时间变化率。位移电流的实质是电场的时间变化率，即变化的电场要激发磁场。而传导电流则是电荷的时间变化率，其对应着电荷的移动。7-7感生电场与静电场有什么相同之处？又有什么不同？答：感生电场与静电场都对电荷有力的作用，他们的不同之处在于：静电场存在于静止电荷周围的空间内，而感生电场则是由变化的磁场所激发，不是由电荷所激发；静电场的电场线起始于正电荷，终止于负电荷，而感生电场的电场线则是闭合的。正是由于感生电场的存在，才在闭合回路中形成感生电动势。7-8变化磁场所产生的电场是否也一定随时间变化？答：变化磁场所产生的电场不一定随时间变化。如果d/dBt为常数，即磁场均匀变化时，感生电场不会随时间变化。7-9电荷作下列两种运动时，能否辐射电磁波？(1)电荷在空间作简谐振动；(2)电荷作圆周运动。答：变化着的电场和磁场相互激发，形成在空间中传播的电磁波。电磁场的传播，也就是电磁波的产生总是和电荷的加速运动相联系的。电荷在空间作简谐振动，它的加速度和时间就按正弦关系变化。离它较远各点的电场和磁场也将随时间按正弦变化，这种变化的电磁场还不断向外传播，这就形成了最简单形式的电磁波——简谐电磁波。电子作圆周运动时，在圆周平面远处进行观察，电子可以看作是简谐振动，因此电荷作圆周运动时，也能辐射电磁波。3练习题7-1如本题图所示，在通有电流I的无限长直导线近旁有一个导线ab，导线长为l，ab导线与载流长直导线的距离为d。当它沿平行于长直导线的方向以速度v平移时，导线中的感应电动势有多大？a、b哪端的电势高？解：建立如图7-1所示的坐标系，在导线ab中取导体元ddlx，由于无限长载流直导线I在该处产生的磁感应强度为02IBx导线ab在磁场中运动时产生的感生电动势为dldIvxvxIlvBlddababln2d2d00其中负号表示电动势方向由b指向a，故a端电势较高。7-2在图7-2中，无限长直导线通有电流A)(100sin5tI，另一个矩形线圈共1310匝，宽a=10cm，长L=20cm，以2m/sv的速度向右运动。当d=10cm时求：（1）线圈中的动生电动势；（2）线圈中的感生电动势。解：（1）导体在磁场中运动时产生的感应电动势就是动生电动势。在图7-2中，易知导体eh段和fg段上的动生电动势为零，因而一匝线圈中的动生电动势为ghefgheflvBlvBddhgeflvBlvBddLLladIvldIv0000d2d2LvadILvdI2200N匝线圈中的总动生电动势为LvadINLvdIN22001带入数据后解得V100sin10231t（2）由磁通量变化引起的电动势为感生电动势。为求线圈中的磁通量，取如图7-3所示的坐标系。现考虑一匝线圈的情况。ILdafgeh图7-2OxdllabdxvxI图7-14电流I在图7-3所示阴影区域产生的磁通量为SBddxLxISBd2d0在整个线圈中产生的磁通量为dadILxLxIaddln2d200于是，在d=10cm时，一匝线圈中产生的感生电动势为tIdadLddln20N匝线圈中产生的感生电动势为tIdadLNNddln202由于ttI100cos500dd带入数据，得V100cos1036.422t7-3只有一根辐条的轮子在均匀外磁场B中转动，轮轴与B平行，如图7-4所示。轮子和辐条都是导体，辐条长为R，轮子每秒转N圈。两根导线a和b通过各自的刷子分别与轮轴和轮边接触。求:（1）a、b间的感应电动势；（2）若在a、b间接一个电阻，流过辐条的电流方向如何？（3）当轮子反转时，电流方向是否会反向？（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多，结果又将如何？解：（1）在辐条上距离轴心r处取长度为dr的微元，当辐条运动时在该微元上产生的动生电动势为rBvd)(drrBd指向dr的正方向。则整个辐条上产生的动生电动势为rBvRd)(d0221RB其方向由轴心沿辐条向外。于是，ab之间的感应电动势为Bab图7-4OIdxLda图7-3xx522222121NBRNRBRB（2）由于电动势的方向由轴心沿辐条向外，故电流方向由b到a。（3）当轮子反转时，由于感应电动势方向相反，故电流方向也会反向。（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多时，相当于两个或多个电源的并联，所有，电动势也相同。7-4法拉第盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。设圆盘的半径为R，它的轴线与均匀外磁场B平行，它以角速度绕轴转动，如图7-5所示。求：（1）盘边与盘心的电位差；（2）当R=15cm时，B=0.60T。若转速n=30rad/s，电压u等于多少？（3）盘边与盘心哪处电位高？当盘反转时，它们的电位高低是否会反过来？解：（1）盘上沿半径方向产生的感应电动势可以认为是沿任意半径的一个导体杆在磁场中运动时产生的动生电动势。与7-3题类似，在一段导体杆线元dl上产生的动生电动势为lBvRd)(d0221RB此即盘边与盘心的电位差。（2）将数据代入上式，知导体盘边与盘心之间的电压为V2.0)15.0(306.0212u（3）由右手定则，电动势由盘心指向盘边，故盘边的电位高。当盘反转时，它们的电位高低会反过来。7-5在半径为R的圆柱体内充满均匀磁场B，如图7-6所示。有一个长为l的金属杆放在磁场中，若B随时间的变化率为dB/dt，金属杆上的电动势是多少？解：如图7-6所示，连接OP、OQ，设想PQOP构成一个闭合导体回路，由于OP、OQ沿半径方向，与通过该处的感生电场强度Ek处处垂直，Ek·dl=0，故OP和OQ两段上均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出闭合回路的电动势就是导体棒PQ上的电动势。按此思路，设闭合导体回路PQOP的环绕方向为逆时针方向，其环绕面积S的方向与磁场方向相反，则通过该回路的磁通量为SSBd2222dlRlBBSSBS根据法拉第电磁感应定律得回路中的电动势，亦即导体棒PQ上的电动势为B图7-5BOPQRl图7-6622dd()dd22PQΦBllεRtt=-=-7-6环形螺线管的截面为矩形，内径为D2，外径为D1，高为h，总匝数为N，介质磁导率为，如图7-7所示。求其自感系数。解：假设螺线管中通有电流I，由磁介质中的安培环路定理lNIlHd得管内距离中轴线为r处的磁场强度为rNIH2根据磁场强度与磁感应强度的关系可知螺线管中的磁感应强度为rNIHB2则通过长方形截面（图7-7中阴影面积）的磁通量为SSBd1222ln2d212DDNIhrhrNIDD通过环绕的N个线圈的总磁通量为212ln2NDμNIhΦNΦπD==由自感定义得整个螺线管的自感系数为212ln2DDhNILN7-7试证平行板电容器的位移电流dddUICt。其中，C为电容器的电容，U为两极板间的电压。证明：设平行板电容器的极板面积为S、极板间距为d、极板间为空气，则极板间的电位移通量为SDSDdSdUESDSSDS00d对平行板电容器，其电容为0SCd将其带入上式得DΨCU于是，由位移电流的定义得图7-7r7dddddDΨUICtt得证。7-8将半径为R的圆形平行板电容器接入交流电器中，已知极板上的电量以0sinqqt的规律变化。求：（1）两极板间的位移电流dI；（2）离两极板中心连线距离为r(rR)处的磁感应强度B。解：（1）由7-7题可知dddddDΨUICtt考虑到电容器的定义CqU和0sinqqt，上式即可化为d0dcosdqIqttww==（2）在两极板中间做一个平行于两极板平面的半径为r的圆形回路l，如图7-8所示。由于电容器内两极板间没有传导电流，按照全电流定律，在此环路上有StDlHlSdddd根据对称性，在此环路上各点的磁场强度大小处处相等，环路内的电场为均匀电场，故由上式可得2d2dDHrrt由于电容器内的电位移值等于极板上的电荷面密度，即2/RqD，再考虑到0sinqqt，由上式可得02cos2rHqtR于是，离两极板中心连线距离为r处的磁感应强度B为tq