第7讲不等式及综合应用

第七讲不等式及综合应用真题试做►———————————————————1．(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．62．(2012·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．考情分析►———————————————————不等式部分在高考中往往是一到两个填空题，重点考查一元二次不等式、简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯不等式的题目，而会穿插在其他知识中进行综合考查．一元二次不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决相关数学问题的基础与工具．在近几年的高考中，涉及二次不等式的试题占有较大的比例，试题形式活泼且多种多样，既有填空题，又有解答题，多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，考查不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，以及逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的综合数学能力，充分体现了不等式的知识所具有的极强的辐射作用．考点一一元二次不等式解一元二次不等式，换元法和图解法是常用的技巧之一，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准更清晰．(1)已知函数f(x)＝－x＋1，x0，x－1，x≥0，则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是()A．{x|－1≤x≤2－1}B．{x|x≤1}C．{x|x≤2－1}D．{x|－2－1≤x≤2－1}(2)若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是()A．1≤a≤19B．1a19C．1≤a19D．1a≤19【思路点拨】(1)涉及分段函数的有关问题，求解时应按分段函数中每段的定义域进行分类．(2)本题的解题思路是：函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴上方，则对应不等式ax2＋bx＋c0对一切x∈R恒成立．(1)解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(a0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出不等式的解；(2)解指数、对数不等式，可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式，然后再根据指数函数、对数函数的单调性，把它化为代数不等式，但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件；(3)求解分段函数条件下的不等式，应按每段定义域对应下的函数解析式分别转化为一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在区间上恒成立的问题一般是把一元二次不等式看作二次函数，通过二次函数的图象判断函数图象在这个区间上与x轴的相对位置，列出不等式恒成立满足的条件．强化训练1解不等式：(1)x＋64－x≤1；(2)log12(x2＋2x－3)log12(3x＋1)．.考点二简单的线性规划问题熟悉二元一次不等式Ax＋By＋C≥0表示平面区域的判定方法，会求与平面区域相关的整点、面积等问题．掌握线性规划问题的解题步骤，结合目标函数的几何意义，利用数形结合思想解答．设x，y满足约束条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z＝2x－y的最大值和最小值．(1)几何意义法：指根据目标函数表达式的特征找到其所代表的几何意义，结合图形求解，它是解决中学阶段线性规划问题的一般方法，高考范围内的所有线性规划问题都可采用这一方法．常见目标函数表示的几何意义有截距、向量投影(目标函数是整式)、斜率(目标函数是分式)、距离(目标函数是两个完全平方式之和)、点线距(目标函数是二元一次因式的绝对值)等．(2)变量替代法：指把目标函数z代换到原约束条件中去，得到新的不等式组，画出此时的平面区域，观察左右或上下边界即可得到目标函数z的值域(最值)．(3)解不等式法：指在目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题中，把目标函数z代换到原约束条件中去，得到z的不等式组，直接放缩求解．(4)界点定值法：指通过总结，若目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题，对应目标函数最值的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点，这时要求目标函数的值域，只要把可行域的几个顶点代入，找到目标函数几个取值中最大的和最小的，即目标函数的最大值和最小值．强化训练2设定点A(3，0)，动点P(x，y)的坐标满足约束条件x≥2，y≥2，x＋y≤6，则|OP→|cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．考点三基本不等式及其应用利用基本不等式及变形求最值，掌握基本不等式及变形求函数的最大值和最小值；能灵活应用基本不等式解答函数和数列等综合问题．(2012·高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b2【思路点拨】先据已知条件用a和b表示出平均时速为v，再据基本不等式求出v与a＋b2，ab，a之间的大小关系．基本不等式是高考的重点与热点之一，同时也是解决很多函数最值问题的重要手段，我们常用“一正，二定，三相等”来表明应用基本不等式的原则，当题目的条件不满足这一前提，就需要适当的“凑”与“配”．高考中，以填空题形式考查是常见的一种形式，有时也和函数结合在一起以解答题的形式考查．强化训练3(2013·高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A．0B．1C.94D．3不等式与四类知识的交汇不等式是中学数学中重要的基础知识，是分析和解决各种数学问题的重要工具，它的思想方法和内容几乎遍布高中数学的每一个章节，应用十分广泛，与其他知识的交汇是高考中常考常新的问题，应该引起我们的重视，下面分类解析不等式与其他知识点的交汇问题．一、不等式与集合的交汇已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，N＝{x|x＋1x－2≥0}，则∁U(M∩N)＝________．【解析】易求得N＝{x|x≤－1或x2}，而M＝{x|x≥1}，∴M∩N＝{x|x2}，∴∁U(M∩N)＝{x|x≤2}．【答案】{x|x≤2}本题主要考查分式不等式的解法及集合的交集、补集运算，不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考常考内容，要认真掌握，并确保得分．二、不等式与逻辑条件的交汇(2013·云南师大附中月考改编)已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0；若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．【解析】对于p：－1≤x≤4，对于q讨论如下，当m0时，q：3－m≤x≤3＋m；当m0时，q：3＋m≤x≤3－m，若p是q的充分不必要条件，只需要m0，3－m≤－1，3＋m≥4，或m0，3＋m≤－1，3－m≥4，解得m≤－4或m≥4.【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(3)讨论判别式是否大于0，当判别式大于0时，判断两根的大小关系．三、不等式与函数的交汇函数f(x)的定义域是R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，当x0时，f(x)0，且不等式f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)0对所有θ恒成立，求实数m的取值范围．【解】令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.由题意，对于任意实数x∈R，f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．对任意实数x1x2，则x2－x10，所以f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，则f(x)是增函数．由题意，得f(cos2θ－3)－f(4m－2mcosθ)＝f(2mcosθ－4m)．又f(x)是增函数，则原不等式等价于cos2θ－32mcosθ－4m对所有θ恒成立，分离参数，得m2－cos2θ2－cosθ＝－[(2－cosθ)＋22－cosθ]＋4，由于2－cos2θ2－cosθ的最大值是4－22.故实数m的取值范围是(4－22，＋∞)．利用函数性质法求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等性质，找到参数满足的不等式．四、不等式与数列的交汇已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－1(n≥1)．(1)设bn＝an－1(n＝1，2，3…)，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝2nan·an＋1，求证：数列{cn}的前n项和Sn13.【证明】(1)由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，∴{an－1}是以a1－1＝2为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知an－1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n＋1，∴cn＝2nanan＋1＝2n（2n＋1）（2n＋1＋1）＝12n＋1－12n＋1＋1，∴Sn＝(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n＋1－12n＋1＋1)＝13－12n＋1＋113.本题以数列为载体考查了不等式的证明，解题的关键是熟练掌握等比数列的定义、数列求和方法等数列知识._体验真题·把脉考向_1．【解析】选C.∵x0，y0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.2．【解析】由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)＜c，∴x＋a22＜c，即－a2－c＜x＜－a2＋c.∴－a2－c＝m，－a2＋c＝m＋6.①②②－①，得2c＝6，∴c＝9.【答案】9_典例展示·解密高考_【例1】【解析】(1)当x＋10，即x－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x.∴原不等式可化为x＋(x＋1)(－x)≤1.①由①得－x2≤1，x∈R，此时不等式的解集为{x|x－1}．当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，∴原不等式可化为x＋(x＋1)x≤1.②解②得－2－1≤x≤2－1，此时不等式的解集为{x|－1≤x≤2－1}．综上可知，原不等式的解集为{x|x－1}∪{x|－1≤x≤2－1}＝{x|x≤2－1}．(2)因为函数f(x)的图象恒在x轴上方，所以不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋30对一切x∈R恒成立．①当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式可化为24x＋30，不满足题意；若a＝1，不等式可化为30，满足题意．②当a2＋4a－5≠0时，应有a2＋4a－50，16（a－1）2－12（a2＋4a－5）0，解得1a19.综上，可得a的取值范围是1≤a19.【答案】(1)C(2)C[强化训练1]【解】(1)原不等式可变形为x＋64－x－1≤0，即x＋6－（4－x）4－x≤0，化简得x＋1x－4≥0.此不等式等价于（x＋1）（x－4）≥0，x－4≠0，解得x≤－1，或x4.故原不等式的解集为{x|x≤－1，或x4}．(2)原不等式可转化为x2＋2x－30，3x＋10，x2＋2x－33x＋1，不等式的解集为x|1x1＋