第7课时等差数列的前n项和

听课随笔第7课时等差数列的前n项和（2）【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题【自学评价】1.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等差数列，公差为k2d.2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用na:当na0，d0，前n项和有最大值奎屯王新敞新疆可由na≥0，且1na≤0，求得n的值奎屯王新敞新疆当na0，d0，前n项和有最小值奎屯王新敞新疆可由na≤0，且1na≥0，求得n的值奎屯王新敞新疆(2)利用nS：由n)2da(n2dS12n二次函数配方法求得最值时n的值奎屯王新敞新疆【精典范例】【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，求数列的项数n。分析条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。【解】1213243nnnnaaaaaaaa12167224naa，1()112862nnnaaSn，26n。【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若1332'nnSSnn,求99ba.【解法一】∵2a9=a1+a17,2b9=b1+b17,∴S17=2)(17171aa=17a9,S17′=2)(17171aa=17b9,∴503711733172171799SSba.【解法二】∵｛an｝、｛bn｝是等差数列，∴可设Sn=An2+Bn,Sn′=A’n2+B′n(A、B、A′、B′∈R),∵nnnnnnSSnn23321332',进而可设Sn=(2n2+3n)t,Sn′=(3n2－n)t(t∈R,t≠0),∴an=Sn－Sn－1=(2n2+3n)t－［2(n－1)2+3(n－1)t］=(4n+1)t,∴a9＝37t.同理可得bn=Sn′－Sn－1′=(3n2－n)t－［3(n－1)2－(n－1)］t=(6n－4)t,∴b9=50t,∴503799ba.【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前n项和Sn的最大值.(3)当Sn＞0时，求n的最大值.【解】(1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,解得:－523＜d＜－623,又d∈Z,∴d=－4(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+256(－4)=78(3)Sn=23n+2)1(nn(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞00＜n＜225,又n∈N*,所求n的最大值为12.点评：可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.【例4】等差数列n{a}中，1912a0,ss,听课随笔该数列的前多少项和最小？思路1：求出nS的函数解析式（n的二次函数,nN），再求函数取得最小值时的n值.思路2：公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：nn1a0,a0,思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.思维点拔：说明：根据项的值判断前项和的最值有以下结论：①当10,0ad时，1231nnaaaaa，则1S最小；②当10,0ad时，12310nnaaaaa，则nS最大；③当10,0ad时，12310nnaaaaa，则nS最小；④当10,0ad时，1231nnaaaaa，则nS最大【追踪训练一】1.已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（B）A.25B.35C.36D.452.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（C）A.130B.170C.210D.2603.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比'5327nnSnSn，则55ab的值是（B）A．2817B．4825C．5327D．23154.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝21271.5.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于___9__.6.在等差数列{an}中，an=23n－221,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？【解法一】由001nnaa可解得6≤n≤7，可知前6项都是正数，第7项为0，因此S6=S7为Sn的最小值.【解法二】由an=22123n知Sn=a1+a2+…+an=nnn221)1(43=16507)213(434394322nnn∴当n=6或n=7时,Sn取得最小值.【选修延伸】【例5】已知数列{}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT。分析：由212nSnn知nS是关于n的无常数项的二次函数（nN），可知{}na为等差数列，可求出na，然后再判断哪些项为正，那些项为负，求出nT。【解】当1n时，21112111aS；当2n，12212[12(1)(1)]132nnnaSSnnnnn。1n时适合上式，{}na的通项公式为132nan。由1320nan，得132n，即当16()nnN时，0na；当7n时，0na。（1）当16()nnN时，12122||||||12nnnTaaaaaann（2）当7n()nN时，121267862||||||()()21272nnnnTaaaaaaaaaSSnn.听课随笔2212(16,)1272(7,)nnnnNTnnnnN。【追踪训练二】1.在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8等于（C）A.3B.4C.6D.122.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（B）A.9B.10C.11D.123.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn=naaan21(n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（A）A.21n(n+5)B.21n(n+4)C.21n(2n+7)D.n(n+2)4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于___5___.【解析】由已知2732奇偶SS，又S偶+S奇=354∴S偶=273232(S偶+S奇)=192S奇=162d=61621926奇偶SS=555.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.【解】∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.∴)16(32512)16(32'22nnnnnnSn【师生互动】学生质疑教师释疑