第8讲函数与方程

A级课时对点练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．(2010·岳阳模拟)设x0是函数f(x)＝lnx＋x－3的零点，则x0在区间()A．(3,4)内B．(2,3)内C．(1,2)内D．(0,1)内解析：令f(x)＝lnx－3＋x，由f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3＞0，f(4)＝2ln2＋1＞0，即可得函数f(x)在区间(2,3)上有零点．答案：B2．设函数f(x)＝13x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：f1e＝13e＋1＞0，f(1)＝13－0＞0，f(e)＝e3－1＜0，∵f′(x)＝13－1x＝x－33x，∴当f(x)在(0,3)上是减函数．根据闭区间上根的存在性定理与函数的单调性．答案：D3．(2010·潍坊模拟)函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：如图，在同一坐标系内分别作出y＝lnx，y＝x2－2x－5的图象，观察图象易知两函数图象有两个交点，即原函数有2个零点．答案：C4．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx－12解析：∵4个选项中的零点是确定的．A：x＝14；B；x＝1；C；x＝0；D：x＝32.又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，g12＝412＋2×12－2＝1＞0，∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于0，12之间，从而选A.答案：A5．若函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a＜13B．a＞13C．a≤13D．a≥13解析：由题意，函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，即方程x2＋2x＋3a＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a＜0，解得a＞13.答案：B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．解析：∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)＜0，f(0.5)＞0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．答案：(0,0.5)f(0.25)7．设函数f(x)＝2x－2x∈[1，＋∞x2－2xx∈－∞，1，则函数F(x)＝f(x)－14的零点是________．解析：当x≥1时，f(x)－14＝2x－2－14＝2x－94＝0，∴x＝98.当x＜1时，x2－2x－14＝0，∵Δ＝4＋1＞0，∴x＝2±4＋12＝2±52，又∵x＜1，∴x＝2－52.∴函数F(x)＝f(x)－14有两个零点98和2－52.答案：98，2－528．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值是________．解析：若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其中有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－14.综上可知a＝0或a＝－14.答案：0或－14三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即4m2－12m－16＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1.(2)若f(x)有两个零点且均比－1大，设两零点分别为x1，x2，即x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，故只需Δ＝4m2－43m＋4＞0x1＋1＋x2＋1＞0x1＋1x2＋1＞0，⇔m2－3m－4＞0－2m＋2＞03m＋4＋－2m＋1＞0⇔m＞4或m＜－1m＜1m＞－5，故m的取值范围是{m|－5＜m＜－1}．10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.B级素能提升练(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1．(2010·上海卷)若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()A．(0,1)B．(1,1.25)C．(1.25,1.75)D．(1.75,2)解析：令f(x)＝lgx＋x－2，知f(2)＝lg2＞0，∵744＝49×49256＜50×50256＝2500256＜10.∴lg744＜lg10，即4lg74＜1，lg74＜14，lg74＜0.25，∴f(1.75)＝lg74－14＜0，∴f(x)在(1.75,2)上有零点．答案：D2.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝lg|x|x≠01x＝0，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为()A．12B．14C．13D．8解析：如右图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)与g(x)共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x∈(0,10]时结合图象知共有9个交点．故函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]上共有14个零点．答案：B二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．若方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0的最小整数是________．解析：令f(x)＝lnx＋2x－10，则f(5)＝ln5＞0，f(4)＝ln4－2＜0∴4＜x0＜5∴不小于x0的最小整数是5.答案：54．已知函数f(x)＝x|x－4|－5，则当方程f(x)＝a有三个根时，实数a的取值范围是________．A．－5＜a＜－1B．－5≤a≤－1C．a＜－5D．a＞－1解析：f(x)＝x|x－4|－5＝x2－4x－5，x≥4－x2＋4x－5，x＜4，在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y＝a与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是－5＜a＜－1.答案：A三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出范围，若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a－2)2－4(4－1)＞0∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a＜－15或a＞1.6．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3.令2x－3＝0，得x＝32∉[－1,1]∴f(x)在[－1,1]上无零点，故a≠0.(2)当a＞0时，f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－12a，①当－12a≤－1，即0≤a≤12时，须使f－1≤0f1≥0即a≤5，a≥1，∴a的解集为∅.②当－1＜－12a＜0，即a＞12时，须使f－12a≤0f1≥0即－12a－3－a≤0，a≥1，解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a＜0时，①当0＜－12a≤1，即a≤－12时，须有f－1≤0，f－12a≥0，即a≤5，－12a－3－a≥0.解得：a≤－3－72或－3＋72≤a≤5，又a≤－12，∴a的取值范围是－∞，－3－72.②当－12a＞1，即－12＜a＜0时，须有f－1≤0，f1≥0，即a≤5，a≥1.∴a的解集为∅.综上所述，a的取值范围是－∞，－3－72∪[)1，＋∞.