第9讲圆轴扭转时的变形和刚度条件

材料力学讲义1第9讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转基本内容圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形。教学目的1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。重点、难点本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。本节难点：对圆轴变形程度的理解。第九讲2§3-5圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10）pGITdxd所以pl0plGITldxGITd（rad）（4-17）式中pGI称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。pGI越大，则扭转角越小。让dxd，为单位长度相对扭角，则有pGIT（rad/m）扭转的刚度条件：PmaxGIT（rad/m）（4-18）或180GITPmax（°/m）（4-19）例3-3如图4-13的传动轴，500nr/min，5001N马力，2002N马力，3003N马力，已知70MPa，1°/m，80GGPa。求：确定AB和BC段直径。解：1）计算外力偶矩702470241nNmA（N·m）6.280970242nNmB（N·m）4.421470243nNmC（N·m）作扭矩T图，如图4-13b所示。2）计算直径dAB段：由强度条件，材料力学讲义331max16dTWTt801070702416163631Td（mm）由刚度条件18032dGT416.8411080180702432][G180T32d429421（mm）取6.841dmmBC段：同理，由扭转强度条件得672dmm由扭转刚度条件得5.742dmm取5.742dmm例3-4如图4-14所示等直圆杆，已知10m0KN·m，试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为Am，Bm（1）由静力平衡方程0xm得000BAmmmmBAmm（a）此题属于一次超静定。（2）由变形协调方程（可解除B端约束），用变形叠加法有第九讲40321BBBB（b）（3）物理方程p0BGIam1，p0BGIa2m2，pBBGIa3m3（c）由式（c），（b）得0GIa3mGIa2mGIampBp0p0即0m3m2mB00并考虑到（a），结果3mmm0BA假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示。§3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角5时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的应力如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面上剪力由Q引起的剪应力214dPAQ，而且认为1均匀分布于横截面上（图4-15c）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由T引起的最大剪应力（图4-15d）332816dPDdTWTtPQ，扭矩PDT21。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。材料力学讲义5所以在簧丝横截面内侧A点有3321max8218dPDkDddPD（4-20）其中D2d1k（4-21）当101Dd，略去剪应力1所引起的误差005，可用近似式3maxdPD8（4-22）对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，Dd的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是max（4-23）式中：—弹簧丝材料的许用剪应力2.弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功P21W。簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为第九讲644163221dPDdPDITP（a）如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是8222221282dGDPGu（b）弹簧的变形能应为VudVU（c）此处dsdAdV，其中d2dA，弹簧丝总长为nDS，n为弹簧有效圈数。于是积分式（c）得4322d082222GdnDP4d2dGDP128DnU（d）由PWU21，则得到4343648GdnPRGdnPD（4-24）式中2DR是弹簧圈的平均半径。若引入记号nDGdc348则式（4-24）可写成cP（4-25）c代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与c成反比，c越大则越小。例3-5某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径mm5.59R，簧丝直径mm14d，有效圈数5n。GPa80G。弹簧工作时受3PmaxKN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）解：由变形公式求最大压缩量43933343)1014(10805)105.59(105.264GdnPR64mmm8.5410543材料力学讲义7考虑剪切力时33333max)1014(105.592105.28)5.594141(dPD8)D2d1(MPa292276059.1不考虑剪力影响时MPa276'max，相差5.9%。由于1018.11Dd，还应考虑曲率影响，此处从略。§3-7非圆截面杆的扭转问题工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a。杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c）：1）边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。2）max发生在矩形长边中点处，大小为：第九讲8kmaxWT，2khbW（4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为max1v四个角点处剪应力0。3）杆件两端相对扭转角kGITl，2khbI（4-27）其中系数v,,与bh有关，可查表（见有关参考书）。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。当10bh时，截面成为狭长矩形，此时31，若以表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为kkmaxGITlWT（4-28）其中2kh31W，3kh31I，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d所示。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。材料力学讲义9例3-6某柴油机曲轴的曲柄截面Ⅰ—Ⅰ可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若mm22b，mm102h，已知曲柄所受扭矩为mN281T，试求这一矩形截面上的最大剪应力。解：由截面Ⅰ—Ⅰ的尺寸求得64.422102bh查表，并利用插入法，求出287.0a于是得MPa8.19102210102287.02812332maxahbT