第9章质量传递概论与传质微分方程

1第九章1.在一密闭容器内装有等摩尔分数的O2，N2和CO2，试求各组分的质量分数；若为等质量分数，求各组分的摩尔分数。解：当摩尔分数相等时，O2，N2和CO2的物质的量相等，均用c表示，则O2的质量为32c，N2的质量为28c，CO2的质量为44c，由此可得O2，N2和CO2的质量分数分别为308.0442832321cccca269.0442832282cccca423.0442832443cccca当质量分数相等时，O2，N2和CO2的质量相等，均用m表示，则O2的物质的量为m/32，N2的物质的量为m/28，CO2的物质的量为m/44，由此可得O2，N2和CO2的摩尔分数分别为3484.044/28/32/32/1mmmmx3982.044/28/32/28/2mmmmx2534.044/28/32/44/3mmmmx2.含乙醇（组分A）12％（质量分数）的水溶液，其密度为980kg/m3，试计算乙醇的摩尔分数及物质的量浓度。解：乙醇的摩尔分数为0507.018/88.046/12.046/12.0)/(/1iMaMaxiNiAAA溶液的平均摩尔质量为42.19189493.0460507.0Mkg/kmol乙醇的物质的量浓度为9800.05072.55819.42AAAcCxxMkmol/m33.试证明由组分A和B组成的双组分混合物系统，下列关系式成立(1)2)(BBAAABAAMxMxdxMMda；(2)2)(BBAABAAAMaMaMMdadx。2证：（1）BAAAABBAAAAAMxMxxMMxMxxMaA)1(2)2))(2))()((((BBAAABBAABAABBAABAAABBAAAMxMxMMxMxxxMMxMxMMxMMxMxMAdxAdaBMBM故2)(BBAAABAAMxMxdxMMda（2）BBMMMaAAaAAaAx///2)/2)/)(12)////////)1()(1(((11BBAAAMBBAABAaBMAMBBAAAaAAaMaMaMMaMaaMaMaMMMMAdaAdxBBAMAaBBAM故2)(BBAABAAAMaMaMMdadx证毕。4.在101.3kPa、52K条件下，某混合气体的摩尔分数分别为：CO20.080；O20.035；H2O0.160；N20.725。各组分在z方向的绝对速度分别为：0.00024m/s；0.00037m/s；0.00055m/s；0.0004m/s。试计算(1)混合气体的质量平均速度u；(2)混合气体的摩尔平均速度mu；(3)组分CO2的质量通量2COj；(4)组分CO2的摩尔通量2COJ。解：设A－CO2B－O2C－H2OD－N2(1))(1DDCCBBAAuuuuu37.23452314.8101325RTpCmol/m3375.1837.23408.0CycAAmol/m320.837.234035.0CycBBmol/m350.3737.23416.0CycCCmol/m392.16937.234725.0CycDDmol/m38254475.18AAAMcg/m3=0.825kg/m34.2623220.8BBBMcg/m3=0.262kg/m36751850.37CCCMcg/m3=0.675kg/m376.47572892.169DDDMcg/m3=4.758kg/m3520.6758.4675.0262.0825.0DCBAkg/m31(0.8250.000240.2620.000370.6750.000554.7580.0004)6.520u000394.0m/s(2))(1DDCCBBAAMucucucucCu1(18.750.000248.200.0003737.500.00055169.920.0004)234.3700041.0m/s(3))(2uujjAAACO40.825(0.000240.000394)1.2710kg/(m2·s)(4))(2MAAACOuucJJ631019.310)00041.000024.0(75.18kmol/(m2·s)5.在206.6kPa、294K条件下，在O2（组分A）和CO2（组分B）的双组分气体混合物中发生一维稳态扩散，已知xA=0.25、uA=0.0017m/s、uB=0.00034m/s。试计算(1)cA、cB、C；(2)aA、aB；(3)A、B、；(4)mAuu、mBuu；(5)uuA、uuB；(6)NA、NB、N；(7)nA、nB、n。解：(1)52.84294314.8106.2063RTpCmol/m313.2125.052.84AACxcmol/m339.6313.2152.84ABcCcmol/m3(2)195.04475.03225.03225.0BBAAAAAMxMxMxa805.0195.011ABaa4(3)16.6763213.21AAAMcg/m3676.0kg/m316.27894439.63BBBMcg/m3789.2kg/m3465.3789.2676.0BAkg/m3(4)BBAABBAAMuxuxucucCu)(100034.075.00017.025.04108.6m/s341002.1108.60017.0MAuum/s44104.3108.600034.0MBuum/s(5)BBAABBAAuauauuu)(100034.0805.00017.0195.041005.6m/s3410095.11005.60017.0uuAm/s441065.21005.600034.0uuBm/s(6)0359.00017.013.21AAAucNmol/(m2·s)51059.3kmol/(m2·s)0216.000034.039.63BBBucNmol/(m2·s)51016.2kmol/(m2·s)5551057.51016.21059.3BANNNkmol/(m2·s)(7)31015.10017.0676.0AAAunkg/(m2·s)41048.900034.0789.2BBBunkg/(m2·s)34310098.21048.91015.1BAnnnkmol/(m2·s)6.试写出费克第一定律的四种表达式，并证明对同一系统，四种表达式中的扩散系数ABD为同一数值。证：费克第一定律的四种表达式为dzdcDJAABA)1((1)dzdDjAABA)2((2))()3(BAAAABANNxdzdcDN(3))()4(BAAAABAnnadzdDn(4)∵AAAMJj，AAAMc∴dzMcdDMJAAABAA)()2(而constAM∴dzdcDJAABA)2(5即)2()1(ABABDD由MAAAMAAAucucuucJ)()()(BAAABBAAAANNxNucucCcN即)(BAAAANNxJN与（3）比较，显见dzdcDJAABA)3(即)1()3(ABABDD同理由)(uujAAA可得)2()4(ABABDD综上)4()3()2()1(ABABABABDDDD证毕。7.试证明组分A、B组成的双组分系统中，在一般情况(有主体流动，BANN)下进行分子扩散时，在总浓度C恒定条件下，BAABDD。证：)(BAAAABANNxdzdxCDN(1))(BABBBABNNxdzdxCDN(2)(1)+(2)得))((][BABABBAAABBANNxxdzdxDdzdxDCNN(3)由于1BAxx故dzdxdzdxBA代入（3）式得0][dzdxDdzdxDCABAAAB0BAABDD所以BAABDB证毕。8.试证明由组分A、B组成的双组分混合物中进行分子扩散时，通过固定平面的总摩尔通量N不等于总质量通量n除以平均摩尔质量，即MnN式中BBAAMxMxM6证：BBAABAucucNNNBBAABAuunnnBBBAAAuMcuMc则BBBAAAucMMucMMMn一般MMAMMB所以MnN证毕。9.试应用摩尔平均速度um，推导出组分A、B组成的双组分混合物的传质微分方程式(9-42)。解：根据质量守恒定律，可得出组分A的衡算式为（输出-输入）+（累积）–（生成）=0组分A沿x方向输入摩尔速率为dydzJucAxmxA)(输出的摩尔速率为dydzdxxJucJucAxmxAAxmxA])()[(输出与输入流体微元的摩尔速率差为dxdydzxJxucxAxmxA])([)(输入输出同理，组分A沿y方向输出与输入流体微元的摩尔速率差为dxdydzyJyucAymyAy])([)(输入输出组分A沿z方向输出与输入流体微元的摩尔速率差为dxdydzzJzucAzmzAz])([)(输入输出在三个方向上输出与输入流体微元的总摩尔速率差为dxdydzzJyJxJzucyucxucAzAyAxmzAmyAmxA])()()([)(输入输出流体微元中累积速率为dxdydzcA设单位体积流体中组分A的摩尔生成速率为AR，则反应生成的摩尔速率为dxdydzRA将以上各项代入质量守恒定律表达式中，得0)()()(AAAzAyAxmzAmyAmxARczJyJxJzucyucxuc整理可得70)(AAzAyAxAmzmymxARzJyJxJDDczuyuxuc由费克第一定律xcDAABAxJycDAABAyJzcDAABAzJ分别对x、y、z求偏导数，得22xcDxJAABAx22ycDyJAABAy22zcDzJAABAz由此可得.222222)()(AAAAABAmzmymxARzcycxcDDDczuyuxuc写成向量形式(Acum)AAABARcDDDc210.有一含有可裂变物质的圆柱形核燃料长棒，其内部单位体积中的中子生成的速率正比于中子的浓度，试写出描述该情况的传质微分方程，并指出简化过程的依据。解：描述该情况可采用一般化的柱坐标系传质微分方程AAcAAABAAmAARzcrrcrrrDzcmzucrurcmruc]1)(1[22222对于固体中的传质0mzumumru由于燃料棒细长rczcAA即022zcA圆柱体轴对称0Ac，022Ac中子生成的速率正比于中子的浓度AAAckR简化可得1[()]AAABAAccDrkcrrr11.试应用圆柱形薄壳衡算方法，推导圆柱体内部沿r方向流动，并进行不稳态传质时组分A的传质微分方程。假定无化学反应发生，总密度为常数。解：在半径为r、厚度为dr、长度为dz的圆柱形薄壳范围内，作组分A的微分质量衡算。由圆柱形薄