第一单元解三角形

第一单元解三角形一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1、在△ABC中，已知边长BC=10，∠A=30°，∠B=45°，则边长AC等于（）A、220B、3610C、210D、365解析：由正弦定理得45sin30sin10AC，解得AC=210，故选C。2、在△ABC中，已知BC=5，CA=12，AB=13，则△ABC的面积为（）A、15B、20C、25D、30解析：因为22251213，所以222CABCAB所以△ABC为直角三角形，所以3012521ABCS,故选D。3、△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠C=30°，5c，8a，则Acos等于（）A、53B、53C、53-D、54解析：由正弦定理得Asin830sin5，所以54sinA，又58ca所以A=30°，所以53cosA，故选B。4、设三角形的三边长分别为m2，12m，13m，则实数m的取值范围为（）A、21mB、1mC、2mD、3m解析：由于m2，12m，13m都是边长，所以01301202mmm，解之得21m；易知13m最大，所以要构造三角形必须满足13)12(2mmm解得2m，所以2m，故选C。5、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2a，∠B=60°，面积32S，则△ABC外接圆的半径R为（）A、4B、32C、2D、3解析：由面积公式得3260sin221sin21cBacS，解得4c，由余弦定理Baccabcos2222得60cos24224222cb，解之得32b，再有RBb2sin，得R260sin32，解之2R，故选C。6、若△ABC的三个内角满足Asin：Bsin：Csin=7:11:13，则△ABC中的最大角（）A、一定是锐角B、一定是直角C、一定是钝角D、可能是锐角，也可能是钝角解析：由Asin：Bsin：Csin=7:11:13，及正弦定理得13:11:7::cba，设kckbka13,11,7，角C是最大角，由余弦定理得0117213117cos222kkkkkC，所以角C是锐角，故选A。7、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，由以下条件可以确定有两解的是()A、30,2,34CcaB、75,60,8CBaC、60,10,15AbaD、30,3,5Bbc解析：对于选项A、由正弦定理Asin3430sin2，解得3sinA，方程无解；对于B选项中的角B与角C可求得∠A=45°，三侥幸唯一确定；对于选项C，由正弦定理Bsin1060sin15，所以33sinB，又60,Aba，所以角B一定是锐角，故有唯一解；对于选项D，由正弦定理得Csin530sin3，解之得65sinC，又bc，所以角C有两个，即有两解，故选D。8、有一设计师想设计一个三角形支架，条件是三边上的高依次为4m，6m，8m，现在他想知道最大的高所对应的顶角有多大，设边a上的高最大为8m，则Acos等于（）A、65B、65-C、4843-D、4843解析：由三角形面积公式421621821cbaS，所以2,3,4ScSbSa，由余弦定理得48431441292cos222bcacbA，故选D。9、已知三角形ABC为锐角三角形，且∠A=2∠B，AC=2，则BC的取值范围为（）A、3222，B、32，C、3322，D、3322，解析：由正弦定理得ABCBACsinsin，即sin2Bsin2BCB化简得BBCcos4，设∠B=，则∠A=2，由锐角△ABC得4509020，又6030903-1800，所以23cos224530，所以3322cos4cos4，BBC，故选A。10、如图，某人在地面上C点测得塔底O在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏西40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为（）A、5米B、10米C、15米D、20米解析：设塔高为h米，在Rt△AOC中，∠ACO=45°，则OC=OA=h。在Rt△AOD中，∠ADO=30°，则hOD3，在Rt△OCD中，∠OCD=80°+40°=120°,CD=10，由余弦定理得：OCDCDOCCDOCODcos2222，即120cos102103222hhh，所以05052hh，解得10h或5h(舍)，故选B。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中的横线上。11、一学生在A点想测量位于建筑物两侧的点B与点C之间的距离，现可测得AB=30m，AC=80m，∠A=60°，请用你学过的知识求得B、C之间的距离为＿＿＿m.解析：由余弦定理得AABACACABBCcos2222=490060cos80302803022所以BC=70m。答案：7012、在△ABC中，已知210AB,31tanA，C=150°，则BC=＿＿＿.解析：因为31tanA且A为锐角，所以1010sinA，在△ABC中，由正弦定理得150sin1010ABBC即150sin2101010BC，解得BC=1，答案1.13、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若232sin3sinsincabCBA，，则∠C=＿＿＿.解析：由正弦定理，把CBAsin3sinsin转化为cba3，又由余弦定理得213223223222cos222222222ccccabcabbaabcbaC，所以C=60°。14、两学生在学校操场完成老师布置的实习作业，已知两人从同一起点A出发，沿两个不同的方向分别以60米/分钟、100米/分钟的速度离开出发点A，5分钟后分别到达B点与C点，他们测得B、C之间的距离是700米，现在请你帮助他们计算他们离开A点向外跑开的两个不同方向之间的夹角为＿＿＿.解析：依据题意知在△ABC中，AB=60×5=300(米)，AC=100×5=500(米),BC=700(米)，由余弦定理得21-3005002700-300500cos222A，所以A=120°。15、在△ABC中60B，3AC，则BCAB的最大值为＿＿＿.解析：120,0-120120AACCA，，ABCBACABCsin22sinsin，AAACABBACCABsincos3-120sin2sin22sinsin，6sin32sin3cos3AAABCAB，故最大值是32。三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16、（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知30,33,3Aba解三角形。解析：由正弦定理得BbAasinsin，即23sinsin3330sin3BB，又ab，B=60°或B=120°。当B=60°时，C=180°-30°-60°=90°，由勾股定理222bac得222333c，所以6c；当B=120°时，C=180°-30°-120°=30°，所以∠C=∠A，由等角对等边得3c。17、（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知BacAcbcos2,cos，试判断三角形ABC的形状。解析：由正弦定理，0cossincossinsincossinsincosCAACCAACBAcb,又A、C均为三角形的内角，所以0cosC即2C；0)sin(cossin2sincossin2sincos2BABABABACBac,又A、B均为三角形的内角，所以A-B=0即A=B；综合以上知△ABC为等腰直角三角形。18、（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且22cbababa22（1）求角C的大小；（2）求BAcos2cos2的最大值。解析：（1）原式22cbababa22可以化为abbac222，由余弦定理得212cos222abcbaC，所以C=60°；（2）由（1）知C=60°，又A+B+C=180°，所以A+B=120°，所以30sin2cos21sin232-120coscos2cos2cos2AAAAABA，所以当A+30°=90°，即A=60°时，BAcos2cos2取得最大值2.19、（本小题满分12分）装潢师小王在墙面上设计了如图所示的一个图案，已知四边形的四个顶点都在圆周上，且AD=DC=4m，BC=6m，∠A=120°。现在小王想买乳胶漆给四边形ABCD涂色，他想根据线段的长度与四边形的面积来买乳胶漆，请你帮他计算：（1）线段AB的长度；（2）四边形ABCD的面积。解析：（1）设xABm，连结BD，在△ABD与△BCD中分别用余弦定理得120-180cos46246120cos424222222BDxxBD解之得2x或6x（舍去）。（2）由面积公式得38sin4621sin4221sin21sin21AACCDCBAADABS2m，综合以上得线段AB的长度为2m，四边形ABCD的面积为382m。20、（本小题满分13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，,且CbBcAacoscoscos3。（1）求Acos的值；（2）若332coscos,32CBa，求边c。解析：：（I）因为3acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理可知3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即sin（B+C）=3sinAcosA，在三角形中，B+C=π-A，∴sinA=3sinAcosA∴cosA=31(2)因为332coscosCB,所以332coscosCCA,所以332coscoscossinsinCCACA，又cosA=31，所以322sinA，所以3sin2cosCC，又1sincos22CC所以36sinC，因为CcAasinsin所以3c。21、（本小题满分13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，,且满足0coscos)2CbBca（。（1）求角B的大小；（2）若4ca，△ABC的面积433S求边AC的长度。解析：（1）由余弦定理知acbcaB2cos222，abcbac2cos222，将上式代入0coscos)2CbBca（，整理得acbca222，所以2122cos222acacacbcaB，又B为三角形的内角，所以32B.（2）因为433S，所以43332sin21sin21acBacS整理得3ac，由余弦定理得BacaccaBaccabcos22cos22222，把32B与4ca代入上式得132b即13b所以的长度为13。