第一章《计数原理》章末质量评估(人教A版选修2-3)

第一章《计数原理》章末质量评估（人教A版选修2-3）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()A．70种B．112种C．140种D．168种解析：法一(直接法)：分类完成：第1类，甲参加或乙参加，有C12C38种挑选方法；第2类，甲、乙都参加，有C22C28种挑选方法．所以不同的挑选方法共有C12C38＋C22C28＝140种．法二(间接法)：从甲、乙等10人中挑选4人共有C410种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C48种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C410－C48＝140种．答案：C2．(2012·新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．答案：A3．在二项式x2－1x5的展开式中，含x4的项的系数是()A．－5B．5C．－10D．10解析：Tk＋1＝Ck5·(x2)5－k·－1xk＝Ck5·x10－2k·1xk·(－1)k＝Ck5·x10－3k·(－1)k.由10－3k＝4知k＝2，即x4的项的系数为C25(－1)2＝10.答案：D4．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为()A．320B．160C．96D．60解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有C15×C14×C14×C14＝5×4×4×4＝320种不同的方法．答案：A5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是()A．40B．74C．84D．200解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法C35C34＋C45C24＋C55C14＝74种．答案：B6．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法总数共有()A．12种B．20种C．24种D．48种解析：甲、乙捆绑看成一个元素，与丙、丁之外的1个元素共两个元素进行全排列，有A22A22种排法，再插空排入丙、丁，共有A22A22·A23＝24种不同排法．答案：C7．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．1B．－1C．0D．2解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.答案：A8．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是()A．6A33B．3A33C．2A33D．A22A14A44解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A14种选法，这两名女歌手有A22种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A44种排法，根据分步乘法计数原理，有A14A22A44种出场方案．答案：D9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有()A．24种B．36种C．60种D．66种解析：先排甲、乙外的3人，有A33种排法，再插入甲、乙两人，有A24种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占12，故所求不同的站法有12A33A24＝36(种)．答案：B10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72B．96C．108D．144解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C13种方法，将其余两个偶数全排列，有A22种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A33种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A22·A23种方法，故满足题意的偶数个数有C13·A22(A33＋A22·A23)＝108个．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有________种．解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C23种选法，再将3人安排到三个科目，有A33种不同排法，因此共有C23A33＝18种不同方案．答案：1812．(2012·浙江高考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C25(－1)2＝10.答案：1013．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C29C37C44＝1260种．答案：126014．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有________种．解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C16种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，有C210种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C15种，所以共有C16(C210－C15)＝240种不同选法．答案：240三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知二项式(5x－1x)n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求n；(2)求展开式中含x项的系数；(3)求展开式中所有含x的有理项．解：(1)由已知得：4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.(2)二项展开式的通项为：Cr4(5x)4－r(－1x)r＝Cr454－r(－1)rx4－32r，令4－32r＝1⇒r＝2所以含x项的系数：C2452(－1)2＝150.(3)由(2)得：4－32r∈Z，(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4.所以展开式中所有含x的有理项为：第1项625x4，第3项150x，第5项x－2.16．(本小题满分12分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．17．(本小题满分12分)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？解：(1)可以组成无重复数字的三位数A19A29＝648(个)；(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第A12A29＋A18＋A14＝156(个)；(3)可以组成无重复数字的四位偶数A39＋A14A18A28＝2296(个)．(分0占个位和0不占个位两种情况)(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有A13A35＋C14C35A44＝1140(个)．(分选出的偶数是0和不是0两种情况)(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有C210＋C310＋C410＋…＋C1010＝210－C010－C110＝1013(个)．18．(本小题满分14分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另两只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3360(种)．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双鞋有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1440(种)．