用DFT进行频谱分析及其误差问题研究

目录1.引言...........................................................................12.利用DFT对有限长序列进行谱分析.............................................12.1谱分析原理......................................................................12.2实验结果及分析.................................................................23.利用DFT对周期序列进行谱分析...............................................23.1谱分析原理.....................................................................23.2实验结果及分析.................................................................34.利用DFT对连续时间非周期信号进行谱分析....................................44.1谱分析原理.....................................................................44.2实验结果及分析.................................................................55.利用DFS对连续时间周期信号进行谱分析......................................55.1谱分析原理.....................................................................55.2实验结果及分析..................................................................66.利用DFT进行谱分析的误差问题及其参数选择...................................76.1谱分析的误差分析................................................................76.2谱分析的近似性问题..............................................................76.3谱分析的参数选择................................................................87.利用DFT进行谱分析的误差仿真................................................97.1混叠效应仿真....................................................................97.2栅栏效应仿真....................................................................97.3频谱泄露效应仿真...............................................................108.结束语........................................................................14参考文献.........................................................................15致谢..............................................................................1611引言随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理己成为当今一门极其重要的学科和技术领域，数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。任意一个信号都具有时域与频域特性，信号的频谱完全代表了信号，因而研究信号的频谱就等于研究信号本身。通常从频域角度对信号进行分析与处理，容易对信号的特性获得深入的了解。因此，信号的频谱分析是数字信号处理技术中的一种较为重要的工具。[1]众所周知，傅里叶变换和Z变换是信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更加重要的数学变换即离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）。DFT[2]之所以重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使得数字处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大加大了数字信号处理的灵活性。信号的频谱分析的实质，就是通过信号的傅立叶变换(FT)来分析信号的频谱结构，信号的FT可以借助于DFT用计算机仿真方法实现。一般地，信号按时间是否连续可分为连续时间信号和离散时间信号，按周期性可分为周期信号和非周期信号，在时域内信号可分为4大类：离散非周期信号(有限长序列)、离散周期信号(周期序列)、连续非周期信号(一般模拟信号)、连续周期信号。2利用DFT对有限长序列进行谱分析2.1谱分析原理假设x(n)为长度为L的有限长序列，其FT和N点DFT分别为10)()(LnnjjenxeX(1)102)()(NnknNjenxkX（k=0，1…，-1）(2)2对比式(1)，(2)可得，kjeXkXN2|)(=)(，即)(kX是在区间[0，2]上对)(jeX的N点等间隔采样。因此序列的FT可以通过DFT近似得到。对于有限长序列，可知其FT是周期为2的连续谱，其DFT是在区间[0，2]上对其FT进行N点等间隔采样得到的离散谱。因此对于不同的变换长度N，同一个序列的DFT也不同。随着N的增大，其DFT的包络越来越接近FT，对其频谱分析也越精确。需要注意的是在选择DFT的参数时，应满足N≥L.[1]2.2实验结果及分析)(4nR长度为8，前4个单位为1的有限长序列，对序列)(4nR进行频谱分析，绘制出其幅频特性曲线。其谱分析可以通过直接计算其N点DFT来近似。使用matlab仿真[3]的程序和结果如下。图1(a)和(b)分别为R(n)的8点和64点DFT，是离散谱线。（a）)(4nR的8点DFT频谱（b）)(4nR的64点DFT频谱图1)(4nR的DFT频谱由仿真结果可知，比较图1（a）、(b)随着DFT点数N的增加，其包络越来越接近序列的FT，即由离散频谱转换为连续谱。在对有限长序列进行谱分析时，通过适当选取DFT的长度，达到用DFT进行谱分析的目的，尤其需要注意的是第k(0≤k≤N-1)条离散谱线对应的FT的频率为kN2。3利用DFT对周期序列进行谱分析3.1谱分析原理设)(~nxN为周期为N的周期序列，对于周期序列的频谱分析可分3步进行：（1）截取其一个周期对应的主值序列)(nxN，对主值序列进行N点DFT得到其离散谱)(kxN，即DFT[)(nxN]=)(kxN=102)(NnknNjnenx，k=0，1，…，N-1。（2）由周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及其主值序列的DFT之间的对应关系，3可得周期序列DFS对应的)(~nxN是)(kxN以N为周期进行周期延拓得到的，即iNNlNkXnX)()(~。（3）对比周期序列的FT和DFS之间的关系式)(jeX=)2()(~2NkXkNkN，得周期序列NX~对应的的频谱)(jeX。由于)(~kXN是以N为周期的离散谱，所以周期序列的FT是以2为周期的离散谱，每个周期有N条谱线，第k条谱线(k次谐波分量)位于kN2处，FT的幅度与离散傅立叶级数)(~kXN成正比。3.2实验结果及分析（a）X(n)的周期序列(b)X(n)的DFT频谱图2X(n)周期序列及其DFT频谱此次仿真中采用的周期序列X(n)是以单位长度为4的序列以16为周期进行延拓得到的，见图2。对周期序列X(n)的频谱分析，分3步进行：（1）截取主值序列X(n)；（2）由周期序列的DFS和主值序列的DFT之间的关系，可以得到周期序列的DFS)(~8kX是X(n)以16为周期进行周期延拓得到的；（3）对比周期序列的FT和DFS之间的关系式)(jeX=)2()(~2kNkXkNkN，可得周期序列)(~8kx的频谱结构(见图2)。需要注意的是FT频谱结构与DFS结构相同，不同的是FT幅度谱的大小为DFS离散谱幅度的N2，第k条谱线对应的频率kN2。44利用DFT对连续时间非周期信号进行谱分析4.1谱分析原理DFT是一种时域和频域均离散化的变换，可用计算机直接计算，而连续信号的傅立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算。因此对连续信号的谱分析，可通过对连续信号时域进行采样，应用DFT进行近似谱分析[1]。连续时间非周期信号)(txa的傅立叶变换对为dtetxjXtjaa)()((3)dejXtxtjaa)(21)((4)为便于计算机处理，需要在时域对)(txa进行截断、采样处理，同样在频域上也需要对)(jxa离散化。具体过程如下：(1)在时域内对)(txa进行采样、截断处理：首先将)(txa以T为间隔进行采样得到采样序列)(nTxa，然后将采样序列截断成从t=0开始长度为0T的有限长序列，包含N个采样值，则公式(3)变为10)()(NnmTjaenTxTjX(5)由于时域采样的采样周期为T，由时域采样定理，频域产生以TfsS/22为周期的周期延拓。如果)(txa是带限信号，则采样信号的频谱不会产生混叠，频谱周期为TS/2，取其中的一个周期的FT，相应的式(5)变为dejXnTxmtjaSa)(021)((6)(2)在频域的一个周期s内对)(jXa进行频域采样，取N个样点，每个样点的间隔为0，即0Ns。则公式(5)，(6)分别为)]([)()()(2101000nxTDFTenTxTenTxTjkXknNjNNnTjkNNa(7)knNjNNanTjkNkaejkXejkXnTx210000100)(2)(21)(0)]([1)(2021000jkXIDFITejkXNaknNjNNa(8)重写式(7)，(8)如下：0|)()(0kaajXjkX(9)5)]([1|)()(0jkXIDFTTtXnxnTtaa(10)式(9)，(10)就是由DFT求连续非周期信号的傅立叶变换的采样值的近似计算公式。（a）)(txa采样序列波形（b）)(txa的DFT频谱图3)(txa采样序列波形及其频谱4.2实验结果及分析此次仿真中中用到的连续信号为)()sin()(0tutAetxata，其中128.444A，250a，)2500，截取连续信号时间区间为[0，0.055s]，对)(txasTS001.0为采样间隔进行采样得到的采样序列波形见图3，对采样序列进行谱分析的结果见图5。需要注意的是，在选取连续信号的采样间隔ST时，应满足采样定理，即,21hSfT，hf为信号频谱的最高频率，所以选取的采样间隔应尽可能小一些。5利用DFS对连续时间周期信号进行谱分析5.1谱分析原理对于周期为0T的连续信号)(tx，其频谱可以用周期信号的傅立叶级数对来表示，即dtetxTTj