第一章函数极限与连续小结

第一章函数、极限与连续微分小结一、概念部分：1、函数的概念；复合函数和初等函数的概念；2、函数极限的定义；无穷大量与无穷小量的概念；极限的法则；两个重要极限；3、函数连续的概念；连续的判断；间断点的判断与分类；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。二、运算部分：1、求极限（1）利用极限的四则运算法则；（2）对于分式的极限，利用无穷大量与无穷小量的关系；（3）对于分式的极限，若分子分母的极限都为零，进行因式分解，消去公因式；（4）对于)()(limXQxPx，其中xxQxP为，)()(的多项式，可以利用公式A。（5）利用两个重要极限公式；（6）利用函数的连续性；（7）利用无穷大量与无穷小量的性质；（8）利用替换等价无穷小量的办法；（9）对于分段函数，在分段点的两侧比较左右极限的办法；（10）对于不定型的极限应用洛必达法则（留待下一章介绍）。三、典型题例：(一)、选择题：1、函数)(xfy在点0x处有定义是)(lim0xfxx存在的（）A、必要非充分条件；B、充分非必要条件；C、充分必要条件；D、无关条件。2、)(sinlim220为常数mxmxx等于（）A、0；B、1；C、2m；D、21m。3、kexkxx，则2)1(lim等于（）A、2；B、2；C、21；D、21。4、当0x时，下列（）为无穷小量A、xe；B、xsin；C、xxsin；D、x1sin。5、在x趋近于（）时，11)1(3xxxxy不是无穷小量。A、；B、1；C、0；D、1。6、设0)(1)(22xxxgexfx，当，时，（）A、)()(xgxf是高阶无穷小量；B、)()(xgxf是低阶无穷小量；C、)()(xgxf是等价无穷小量；D、)()(xgxf是同阶、而等价的无穷小量。7、设xbxxaxxxxf1,10,0,2)(2在),(内连续，则ba,分别为（）A、0,0；B、3,2；C、2,3；D、1,1。8、设)0(sin)(xxaxxf在0x处连续，且21)0(f，则a（）A、2；B、21；C、21；D、2。(二)、填空题：1、设)()()(3)(lim,3)(lim11xhxfxgxhxgxx，且，则)](43[lim21xfxx。2、当x时，函数xxf1~)(，则)(2limxxfx。3、设0,210,00,21)(xxxxxxf，则)(lim0xfx。4、设00)(xxaxexfx，，在点0x处连续，则a。5、设)()(lim2112)(123xfxfxxxxfx，则。(三)、简答题：1、设。，，求baxbaxxx51lim212、设。，，求babaxxxx0)11(lim23、求下列函数的间断点，并判断其类别：（1）11)(32xxxf；（2）xxxfsin)(；（3）020sin)(xxxxxf，，；（4）0101sin)(xxxxf，，。4、试判定方程0)1)(3()3)(2()2)(1(xxxxxx有几个根？这些根分别在什么范围内？5、判定方程033xx至少有一个正根。6、设2)(xxf在处连续，且)4421)((lim3)2(22xxxffx，求。7、若当2tan~033xaxx时，，求a。(四)、计算题：1、xxxx10)22(lim；2、11)1(lim21xxxx；3、1252lim22xxxxx；4233lim32xxxxx；3423lim23xxxxx；4、xxxsin)21ln(lim0；xexx3tan1lim20；xxxxcot0)11(lim；5、123lim2nnnn；6、xxxxsin432lim337、)sin1(sinlimxxx；8、xxxsin1lim21（令1xt）。四、习题解答：（一）、选择题：1、函数)(xfy在点0x处有定义是)(lim0xfxx存在的（D）A、必要非充分条件；B、充分非必要条件；C、充分必要条件；D、无关条件。2、)(sinlim220为常数mxmxx等于（2m）A、0；B、1；C、2m；D、21m。3、kexkxx，则2)1(lim等于（B）A、2；B、2；C、21；D、21。4、当0x时，下列（B）为无穷小量A、xe；B、xsin；C、xxsin；D、x1sin。5、在x趋近于（B）时，11)1(3xxxxy不是无穷小量。A、；B、1；C、0；D、1。6、设0)(1)(22xxxgexfx，当，时，（D）A、)()(xgxf是高阶无穷小量；B、)()(xgxf是低阶无穷小量；C、)()(xgxf是等价无穷小量；D、)()(xgxf是同阶、而等价的无穷小量。7、设xbxxaxxxxf1,10,0,2)(2在),(内连续，则ba,分别为（B）A、0,0；B、3,2；C、2,3；D、1,1。8、设)0(sin)(xxaxxf在0x处连续，且21)0(f，则a（C）A、2；B、21；C、21；D、2。二、填空题：1、设)()()(3)(lim,3)(lim11xhxfxgxhxgxx，且，则)](43[lim21xfxx12。2、当x时，函数xxf1)(，则)(2limxxfx2。3、设0,210,00,21)(xxxxxxf，则)(lim0xfx21。4、设00)(xxaxexfx，，在点0x处连续，则a1。5、设)()(lim2112)(123xfxfxxxxfx，则25。三、简答题：1、设。，，求baxbaxxx51lim21解：51)1()1()1(lim1lim2121xbaxaxxbaxxxx675201baaba2、设。，，求babaxxxx0)11(lim2解：01)1()()1(lim11lim222xbxbaxaxbbxaxaxxxx11001babaa3、求下列函数的间断点，并判断其类别：（1）111)(32xxxxf是第一类、可去间断点；（2）0sin)(xxxxf是第一类、可去间断点；（3）0020sin)(xxxxxxf，，是第一类、可去间断点；（4）00101sin)(xxxxxf，，是第二类、振荡间断点。4、试判定方程0)1)(3()3)(2()2)(1(xxxxxx有几个根？这些根分别在什么范围内？解：令)1)(3()3)(2()2)(1()(xxxxxxxf02)31)(21()1(f，0)12)(32()2(f，0)23)(13()3(f，0)2()1(]2,1[ff上，在区间，0)(]2,1[11xfx，使得上，至少存在一点在区间，0)3()2(]3,2[ff上，在区间，0)(]3,2[22xfx，使得上，至少存在一点在区间，因为二次函数至多有二个实数根，因此可知21xx与，即为所求的两个实数根，且分别在区间)32()21(，，，内。5、判定方程033xx至少有一个正根。解：令3)(3xxxf03)0(f，07)2(f，，0)2()0(]2,0[ff上，在区间，0)(]2,0[f，使得上，至少存在一点在区间，即至少存在一个正根。6、设2)(xxf在处连续，且)4421)((lim3)2(22xxxffx，求。解：2)(xxf在处连续，且3)2(f，3)2()(lim2fxfx)4421(lim)(lim)4421)((lim22222xxxfxxxfxxx43)2)(2(2lim3)2)(2(42lim3)4421(lim)(lim02222xxxxxxxxxfxxxx7、若当2tan~033xaxx时，，求a。解：21121222tanlim2tanlim330330aaxaxaxxxx。四、计算题：1、eeexxxxxxxxxxxxxxx21212120212011010])21[(lim])21[(lim)22()22(lim)22(lim；2、0)1)(1(1)1(lim11)1(lim121xxxxxxxxx；3、211252lim22xxxxx；04233lim32xxxxx；3423lim23xxxxx；4、22limsin)21ln(lim00xxxxxx；3232lim3tan1lim020xxxexxx；21110tan1tan10cot0)1()1(lim)1()1(lim)11(limeeexxxxxxxxxxxxxx；5、211231lim123lim2nnnnnnn；6、31sin4321limsin432lim3333xxxxxxxx；7、21sin21cos2lim)sin1(sinlimxxxxxxxx021)1(221sin21cos2limxxxxxxxxx)12121sinlim0)1(lim(xxxxxxxx；8、2sin)2(lim)1(sin)1(1lim1sin1lim02021tttttxtxxttx。