第一章坐标法的简单应用

第一章坐标法的简单应用§1笛卡尔坐标系（一）确定平面上点的位置我们想象一个四周无限延伸的平面，该平面上所有的点都是完全一样的：其中的一个点没有不同于另外的一个点的任何特征。所以我们不能确定平面上点的位置，就是不能描绘平面上任何一个点的位置，使它不与其他点相互混淆。在平面上确定点的位置的这种方法称为卡笛卡尔直角坐标系。它是伟大的法国哲学家和数学家笛卡尔（1596-1650）所发明的。笛卡尔发表了哲学论文‘方法论’，其中有三篇附录：‘光学’、‘流星学’和‘几何学’。笛卡尔在这些附录中结合着光学、大气现象和几何学运用了一般的科学方法，发展了方法论。被公认为是解析几何学的创始作品。虽然有法国数学家皮叶尔·费尔马在1636年发表了关于平面与空间的研究论文，其中含有解析几何学的方法，但根据许多因素来看，笛卡尔的作品的确是为了解析几何学的发展而出发的。我们研究的坐标系称为直角坐标系，因为两轴OX与OY组成直角，笛卡尔的斜坐标系是可能的，但本书内不采用。轴OX与轴OY称为坐标轴，轴OX称为横坐标轴。而轴OY称为纵坐标轴。今后我们把横坐标轴简称为‘X轴’，而把纵坐标轴简称为‘Y轴’。点O叫作坐标原点，或简称为原点。坐标轴把整个平面分成了四个部分。这些部分称为象限。若从坐标原点引两轴与其正方向，这样所得到的那个象限称为第一象限或第一正坐标角。其余各象限的次序按照反时针方向标记。如果点在第一象限内，两个坐标都是正的；在第二象限内横坐标是负的，而纵坐标是正的；在第三象限内两坐标都是负的；在第四象限内横坐标是正的，而纵坐标是负的。于是，每一个象限对应着坐标符号的组合，如下表所示：象限横坐标符号纵坐标符号ⅠⅡⅢⅣ+--+++--除在象限内的点以外，还有在象限边界上的点，就是在坐标轴上的点。如果点在横坐标轴上，纵坐标就等于零；如果点在纵坐标轴上，横坐标就等于零。坐标原点的两个坐标都等于零。当坐标已知时，总可作出点。例如求作点M（x，y）。从坐标原点沿横坐标轴取x个单位（向右取或向左取，依照x是正或负来决定）。在所取的点上作横坐标轴的垂直线，且在此垂直线上取y个单位（向上取或向下取，依照y是正或负来决定）。这样作出以后，就得到所求的点M(x，y)。这里y不在纵坐标轴上截取，而直接在垂直于横坐标轴的垂线上取点。我们强调指出，坐标是抽象的数，这在以后是很重要的。这些数的绝对值表明从坐标轴到点的距离（距离如同长度永远是正量），而它们的符号指示线段的方向。从坐标原点到任意一点M的向量称为此点的向径。向径的长我们通常用希腊字母ρ表示：ρ=|OM̅̅̅̅̅|。利用向径的概念可以给点的坐标以新的定义：点的坐标是其向径在坐标轴上的射影，如果点M的坐标为已知，它的向径的长度就可以按照比法高尔定理来确定。ρ=+√x2+y2。在根号前取+号，因为ρ（向量的长）永远是正的。在书中常常把ρ叫做向径。尽管这是不精确的：因为它不是向径，而是向径的长度，可是为了简单，并且为了和通过的术语一致，我们有时也就是这样表示。（一）向量在坐标轴上的射影我们现在解决下面的问题。已知两点A1（x1，y1）与A2（x2，y2），从而向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅就被确定。现在确定向量在坐标轴上的射影。以P1与P2顺次表示点A与A在X轴上的射影，以Q1与Q2表示在Y轴上的射影。就有：x=P1P2=P1O+OP2=−x1+x2=x2−x1y=Q1Q2=Q1O+OQ2=−y1+y2=y2−y1就是，向量在坐标轴上的射影等于该向量终点坐标减去起点坐标（横坐标或纵坐标要看投影到哪一个轴上来决定）。在此公式中不得调换向量的终点和起点。公式的结论，用以前建立的有向线段的性质为基础，而不依赖于图形，这公式对向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅的任何位置都成立。§2利用坐标法解决简单问题（一）两点间的距离我们现在解决下面的问题：已知两点A1和A2；确定它们之间的距离。在解析几何学里，点永远有它自己的坐标，因此所讲的问题可以写成这样：已知点A1与A2的坐标；计算它们之间的距离。在解析几何学里，所有的问题都是用计算来解决，而不是用图形解决（虽然在推演公式时，有时我们也利用图形）。于是，设已知点A1（x1，y1）与A2（x2，y2）。用d表示A1A2的长。数x1、y1、x2、y2是已知的，d是未知的。为了求距离d，可以作出矩形A1CA2B。它的边长等于向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅在坐标轴上射影的绝对值，而A1A2是对角线。于是d=+√(x2−x1)2+(y2−y1)2。公式给出了两点间的距离。这个距离不依赖于哪一个点作为第一个，哪一个作为第二个。因此，如果把公式的x2−x1写成x1−x2或者把y2−y1写成y1−y2，那么d应当不改变。则距离不改变，（二）向量对坐标轴的倾斜角设已知两点A1（x1，y1）与A2（x2，y2）。这两点完全确定了向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅。我们求这向量对两坐标轴的倾斜角。解这个问题时，我们利用向量在坐标轴上射影的两种表达的情况。第一：x=dcosφ，其中d是向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅的长就是d=+√(x2−x1)2+(y2−y1)2，而φ是向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅对X轴的倾斜角（此角是未知的）。第二：x=x2−x1，使这两个表达式相等：dcosφ=x2−x1⟹cosφ=x2−x1d。把向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅投射到Y轴上，我们类似的求得：cosψ=y2−y1d。其中ψ是向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅对Y轴的倾斜角。不难想到cosψ=sinφ。于是cosφ=x2−x1d，cosψ=y2−y1d，其中d=+√(x2−x1)2+(y2−y1)2公式给出了向量对X轴的倾斜角的正弦和余弦。在这些公式中不得变更附标的次序，即从向量终点的坐标减去起点的坐标。如果向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅变为相反的向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅，那么公式的正弦与余弦变更符号。在几何学中这说明：如果向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅对X轴的倾斜角为φ，那么相反的向量A2A1̅̅̅̅̅̅̅与X轴组成叫180°+φ，便得cos(180o+φ)=−cosφ，sin(180o+φ)=−sinφ，⟹tanφ=x2−x1y2−y1。公式中的附标次序变更，不影响tanφ，这说明：tan（180o+φ）=tanφ。因此，公式对于向量A2A1̅̅̅̅̅̅̅与向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅都成立，就是说公式确定了线段对X轴的倾斜角的正切称为线段的角系数。公式给出了线段A1A2的角系数。（三）线段的定比划分问题的提出：给出两点A1与A2，求以定比λ划分线段A1A2的点B。我们回想在解析几何学中谈到‘已知’，就是给定了点的坐标，而‘所求点’，就是要计算点的坐标。注意，如果点B在线段A1A2上，那么数λ=A1BBA2称为B划分线段A1A2的比。注意在分子上取由线段起点到分点的线段，分母上取由分点到终点的线段。谈过上述的说明以后，我们回到所要讲的问题。已知点A1(x1，y1)与A2(x2，y2)。求点B（x，y），此点位于线段A1A2上，且以比λ划分该线段。这里已知数是x1，y1，x2，y2及λ，而未知数是x与y。可以写成下列的比例：x−x1x2−x=λ⟹x=x1+λx21+λ。y−y1y2−y=λ⟹y=y1+λy21+λ。如果点B是线段的中点，那么λ=1。便得：x=x1+x22，y=y1+y22线段中点的横坐标（纵坐标）是线段两端点的横坐标（纵坐标）的算术平均数。例2在木棒的两端点放置两质量，木棒的质量可以忽略不计；在点（-2，4）的质量为5克，点（10，-2）的质量为10克。求其重心。解重心在线段两端点（-2，4）与（10，-2）之间，且划分这线段为两部分，与其两端点的质量成反比，即λ=10克/5克=2。因此x=−2+2×101+2=6，y=4+2(−2)1+2=0。（四）三角形的面积设已知三点A1(x1，y1)、A2(x2，y2)、A3(x3，y3)，求三角形ABC的面积。跟平常一样，用字母a1、a2、a3记三角形的边，面积Q就有下列的表达式：Q=12a2a3·sinA1（*）。首先，计算sinA1，我们研究向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅、A1A3̅̅̅̅̅̅̅。根据角的加法：(X，A1A2̅̅̅̅̅̅̅)+(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)=(X，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)，由此(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)=(X，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)−(X，A1A2̅̅̅̅̅̅̅)=α−β，于是sin(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)=sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ。sinα=y3−y1a2，cosα=x3−x1a2，sinβ=y2−y1a3，cosβ=x2−x1a3，sin(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)=y3−y1a2·x2−x1a3−x3−x1a2·y2−y1a3。（**）这里着重指出：如下图如果三角形顶点A1、A2、A3的顺序与时针的方向相反，那么从向量A1A2̅̅̅̅̅̅̅到向量A1A3̅̅̅̅̅̅̅的旋转就与时针相反，就是说：角(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)是正的。显然，角(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)是三角形的内角，就是角A1。所以把表达式（**）代入公式（*），即得三角形面积的公式：Q=12a2a3·（y3−y1a2·x2−x1a3−x3−x1a2·y2−y1a3）则：Q=12[(y3−y1)·(x2−x1)−(x3−x1)·(y2−y1)]=12[x1·(y2−y3)+x2·(y3−y1)+x3·(y1−y2)]。（a）⟹Q=12|x1y11x2y21x3y31|。（b）如果三角形顶点A1、A2、A3的顺序是顺时针方向，角(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)就是负的，就是它的正弦是负的（因为在三角学里把三角形的角认为是本质上正的），即，sinA1=−sin(A1A2̅̅̅̅̅̅̅，A1A3̅̅̅̅̅̅̅)。最后的结果Q=−12[x1·(y2−y3)+x2·(y3−y1)+x3·(y1−y2)]。(a′)⟹Q=−12|x1y11x2y21x3y31|。（b′）如果我们约定在所有的情况下（不论顶点的位置如何）都利用公式（a）或（b），那么在第一种情况下，就这两公式给了我们三角形的面积，而在第二种情况给了负面积（面积本身是本质上为正的量）。这样Q不是单纯地表示三角形的面积，而是表示带有正号或负号的面积。这就依赖于顶点位置的顺序。最后结论。当计算三角形面积时，总可以利用公式(a)或(b)。绝对值表示三角形的面积，而符号要看三角形顶点的位置环绕的顺序来决定（正好是反时针方向，负号是顺时针方向）例计算以A（2，5）、B（3，-1）、C（-1，1）为顶点的三角形的面积：解：由于顶点A,B,C的位置为顺时针方向，故：Q=−12|2513−11−111|=−(−11)=11。答：所给三角形的面积等于11。§3.坐标变换（一）问题的提出任意一点M的坐标依赖于此点关于坐标轴的位置。如果我们移动坐标轴，但点M不动，点M的坐标就改变了。现在我们研究下列的问题：已知某一点在旧坐标系中的坐标后，计算该点在新坐标系中的坐标。反过来说，已知某一点在新坐标系中的坐标后，计算这点在旧坐标系中的坐标。为了解决这两个问题，当然必须要知道新坐标轴关于旧坐标的位置。图中画出两个坐标系：旧坐标系和新坐标系。旧坐标系以O表示原点，而新坐标原点以O′表示，依此类推。怎样确定新轴关于旧轴的位置呢？为了回答这个问题，我们研究如何移动旧轴使与新轴重合。为此可以这样做：（1）不要改变轴的方向，把坐标原点从O移到O′。于是，坐标系XOY变为X″O′Y″；(2)然后绕点O′以这样的角O旋转坐标系，使轴O′X″与轴O′X′重合；这时，轴O′Y″显然与O′Y′重合。于是，任何坐标变换（就是由一个坐标系变换到另一个坐标系）可以分为两种变换；坐标原点的平移及坐标轴的转换。在平移时，坐标原点变动，而两轴保持原来的方向移动。在坐标轴旋转时，坐标原点保持原点的位置。也可以先旋转两轴，然后平移。由此得