第一章多项式练习题

1第一章多项式一．填空题1、当p(x)是多项式时，由p(x)|f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。2、当f(x)与g(x)时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。3、设f(x)=x3+3x2+ax+b用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a=b=。4、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k=。5、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a=b=。6、f(x)没有重根的充分必要条件是。7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k=。8．若不可约多项式()px是()fx的k重因式，则()px是(1)()kfx的因式9、a是f(x)的根的充分必要条件是。10、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)=。11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。答案1、不可约2、互素3、a=0,b=14、k=35、a=3,b=-76、(f(x),f’(x))=17、k=±28.单因式9、x-a|f(x)10、x5-6x4+15x3-20x2+14x-411.充分二．判断并说明理由1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x)（）2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x)()3.设()[]fxPx，且(1)(1)0ff，则21()xfx．（）4、设p(x)是数域p上不可约多项式，如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是()fx的k-1重因式。（）5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。6．若一整系数多项式()fx有有理根，则()fx在有理数域上可约。7.若()fx无有理根，则()fx在Q上不可约。（）8.在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的.（）9、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约。（）答案1、√2、×当f(x)是不可约时才成立3.√4、√5.√6.×次数≥2时成立7.×8.√29、√三．选择题1、以下数集不是数域的是（）A、是有理数babia,|，i2=-1B、是整数babia,|，i2=-1C、是有理数baba,|2D、全体有理数2、关于多项式的整除，以下命题正确的是（）A、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)则f(x)|h(x)B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)C、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x)D、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是（）A、若f(x)|g(x)h(x)且f(x)|g(x),则（f(x),h(x)）=1B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式D、若(f(x)g(x),h(x))=1，则(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1（）4、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（）A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)B、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x),c≠0C、p(x)是任何数域上的不可约多项式D、p(x)是有理数域上的不可约多项式5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（）A、若p(x)是()fx的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式B、若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)，()fx的公因式C、若p(x)是()fx的因式，则p(x)是f(x)的重因式D、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是))(),(()(xfxfxf的单因式36、关于多项式的根，以下结论不正确的是（）A、α是f(x)的根的充分必要条件是(x-α)|f(x)B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约C、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根D、一个三次的实系数多项式必有实根7、设f(x)=x3-3x2+tx-1是整系数多项式，当t=()时，f(x)在有理数域上可约。A、1B、0C、-1D、3或-58、设f(x)=x3+tx2+3x-1是整系数多项式，当t=()时，f(x)在有理数域上可约。A、1B、-1C、0D、5或-39、设f(x)=x5+5x+1，以下结论不正确的是（）A、f(x)在有理数域上不可约B、f(x)在有理数域上可约C、f(x)有一实根D、f(x)没有有理根10．1110()[]nnnnfxaxaxaxaZx，若分数pq(p,q互素)是()fx的有理根，则下列结论正确的是（）A.0,npaqaB.,nnpaqaC.0,npaqaD.00,paqa答案：1、B2、C3、D4.C5、D6、B7、D8、D9、B10.C四．计算题1、求m，p的值使x2+3x+2|x4-mx2-px+2解：用带余除法求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即060153mpm求得m=-6p=32求ml,，使2523xlxxxf能被12mxxxg整除。解法1：因3xf，2xg，故商xq满足1xq，且设pxxq，则由4xgxqxf，可得pxpmxpmxxlxx1252323，lmppmp,51,2，从而4,2,2lmp。解法2：用带余除法mlxlmxlmmmlxmlmxmlxxmlxmxxxlxxmxx242425122223232于是lmxlmmmlxxgxf242，因xfxg|，则02,042lmlmm，从而2,4ml。3．设432()343fxxxxx，32()31023gxxxx，求((),())fxgx，并求(),()uxvx使((),())()()()()fxgxuxfxvxgx。((),())3fxgxx；2312()1,()555uxxvxxx4、判断f(x)=x4-6x2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数.解：()fx=4x3-12x+8(f(x),()fx)=(x-1)2x-1是f(x)的三重因式注：求xf重因式的方法：1.求xf；2.求xdxfxf,。当1xd，则无重因式。当1xd，则有重因式，且xd即为一些重因式的乘积，据此，也可考察xf有无重根。6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根，并写出f(x)在有理数域上的标准分解式。解：有理根为21（二重）分解式为f(x)=4(x+21)2(x2-x-1)57、已知i,2-i是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的两个根，求f(x)的全部根解：全部根为i,-i,2-i,2+i,218、求以1为二重根，1-i为单根的次数最低的实系数多项式f(x).解：f(x)=x4-4x3-x2-6x+29、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根，求f(x)的全部根。解：全部根为1+i,1-i,1+2,1-2五．证明题1、试证用x2-1除f(x)所得余式为2)1()1(2)1(1ffxff）（证明：设余式为ax+b，则有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+bf(1)=a+b,f(-1)=-a+b求得a=2)1()1(,2)1()1(ffbff2、证明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g(x))证明：(f(x),g(x))=d(x)则d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x)设d1(x)是f(x)+g(x),f(x)-g(x)的任一公因式则d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x)d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x)故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),从而d1(x)|d(x)得证3、设p(x)是次数大于零的多项式，如果对任意多项式f(x)，g(x)，由p(x|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)是不可约多项式证明：假设p(x)是可约的，设p(x)=p1(x)p2(x)其中(p1(x))(p(x)),(p2(x))(p(x))显然p(x)|p1(x)p2(x)但p(x)|P1(x),p(x)|p2(x)这与题设矛盾，即p(x)是不可约的。4.设xp是xP中一个次数1的多项式。如果对于xPxgxf,，从xgxfxp|可推出xfxp|，或xgxp|，则xp是xP中的一个不可约多项式。证明：类似上题，用反证法。若xPxp可约，则xp可分解为xpxfxfxfxfxp2121,,，且xfxfxp21|，故由题设有xfxp1|或xfxp2|，矛盾。65.设xp是xP中一个次数1的多项式。如果对xPxf，都有xfxp|或1,xfxp，则xp是数域P上的不可约多项式。证明：用反证法。如果xp在P上可约，则xp可表成两个次数较低的多项式的乘积：xfxfxp21，且可设xf1的首项系数为1，于是xfxp1|，且1,11xfxfxp，与题设矛盾。6、设f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0是整系数多项式证明，如果a0，an均为奇数，f(1)，f(-1)中至少有一个为奇数，那么f(x)无有理根证明：若f(x)有有理根vu，（u,v互素），则v|anu|a0,知u,v均为奇数，由x-vu|f(x)得，vx-u|f(x)，取x=1有u-v|f(1)，u+v|f(-1)，故f(1),f(-1)均为偶数，这与题设矛盾，所以f(x)无有理根。