第一章导数及其应用1.1变化率与导数

1第一章导数及其应用1．1.1变化率与导数1.1.2导数的概念一．自主学习，明确目标1、会求函数的平均变化率；2、知道平均变化率的几何意义；3、会求函数在某点处附近的平均变化率4、知道瞬时速度、瞬时变化率的概念，能够区分平均速度和瞬时速度；5、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；6、会求函数在某点的导数二．研讨互动，问题生成变化率问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV如果将半径r表示为体积V的函数,那么)(Vr在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________问题2高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?在5.00t这段时间里，v=_________________在21t这段时间里，v=_________________问题3平均变化率已知函数xf，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数xf从1x到2x的___________.习惯上用x表示12xx，即x=___________,可把x看做是相对于1x的一个“增量”，可用1xx代替2x，类似有)(xf__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________思考：观察函数f(x)的图象平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?练习：已知函数f(x)=2x+1,g(x)=–2x,分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率.(1)[–3,–1];(2)[0,5].hto2瞬时速度与导数的概念问题1我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为)(tfs，则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当_________时平均速度的极限，即tsvt0lim=___________________105.69.42ttth问题2函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxfxx我们称它为函数()yfx在0xx处的______，记作'0()fx或________，即________________________说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（2）0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx三．合作探究，问题解决例1．已知函数f(x)=xx2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy．A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-Δx解：例2.求2xy在0xx附近的平均变化率。解：例3．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)再求xf再求xfyx0lim解：3（2）求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例4．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．四．经典示例，巩固提高1．质点运动规律为32ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为．2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.4、函数2xxf在区间3,1上的平均变化率是（）A、4B、2C、41D、435、经过函数22xy图象上两点A、B的直线的斜率（1,5.1BAxx）为_______;函数22xy在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________6、如果质点M按规律23ts运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______7．质点运动规律为32ts，求质点在3t的瞬时速度为．48．求22xy在点x=1处的导数.求曲线y=f(x)=x3在1x时的导数．求函数xy在1x处的导数9.已知函数)(xfy，下列说法错误的是（）A、)()(00xfxxfy叫函数增量B、xxfxxfxy)()(00叫函数在[xxx00,]上的平均变化率C、)(xf在点0x处的导数记为yD、)(xf在点0x处的导数记为)(0xf10．例4中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．要点归纳，反思总结1．平均变化率的概念2．如何求函数在某点附近的平均变化率3．瞬时速度、瞬时变化率的概念4．导数的概念附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同②定义的变化形式：xf'=xxxfxfxyxx)()(lim)(lim0000；xf'=00)()(lim)(lim00xxxfxfxyxxxx；xf'=xxfxxfx)()(lim000；0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx③求函数xfy在0xx处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。5拓展训练单1、已知函数1)(2xxf，分别计算xf在下列区间上的平均变化率（1）[1，1.01](2)[0.9,1]2、已知一次函数)(xfy在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。3、已知函数12)(2xxfy的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1(fx）），求xy4、将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的体积增量________________)(34)(432RRRV5、若质点A按规律22ts运动，则在3t秒的瞬时速度为（）A、6B、18C、54D、816、设函数)(xf可导，则xfxfx3)1()1(lim0=（）A、)1(fB、)1(31fC、不存在D、以上都不对7、函数xxy1在1x处的导数是______________8、已知自由下落物体的运动方程是221gts，(s的单位是m,t的单位是s)，求：（1）物体在0t到tt0这段时间内的平均速度；（2）物体在0t时的瞬时速度；（3）物体在0t=2s到st1.21这段时间内的平均速度；（4）物体在st2时的瞬时速度。课本第10页：2,4