第一章数学思想方法指导

第一章数学思想方法指导--------极限与连续思想方法选讲§1.9.1关于集合概念的说明集合论是现代数学的基石.它是德国著名数学家G.Cantor（康托）在十九世纪末开创的;20世纪初由许多数学家共同努力，在克服其自身存在的若干逻辑上的缺陷的基础上形成了公理化体系，发展成现代数学的一个重要分支，并且成为现代数学和许多相关的科学领域（包括自然科学和部分社会科学）的基础或基础的一部分.在公理化体系中，集合，或简称集，是数学的一个原始概念，正如平面几何中的点、线、平面等概念一样，它不能用别的、更基本的概念来定义它.于是采用了一套公理来规定集合的运算法则.其中的“划分公理”指出，当基本集合确定时，这基本集合的任何一部分是一个集合.根据这一点，本书§1.1.1叙述道：“在研究范围明确的条件下，集合通常理解为具有某种性质的事物的全体”，其中所谓“研究范围明确”指的就是“基本集合确定”.在一元微积分中我们考虑的函数的定义域和值域都是实数集的子集,即认定基本集为实数集(实数全体构成的集);在多元微积分,值域仍是实数集,而定义域是n维欧氏空间的子集合(基本集为n维欧氏空间).§1.9.2函数的一般定义与函数思想在§1.1.2函数的定义中，所谓“对应法则”本身是含糊不清的.按现代观点，函数可以用集合来定义；即把“对应法则”用一个集合明确表示出来.为此，对集合X和Y，先根据集合的公理来定义乘积集合XY={(x,y)|xX,yY}（当X和Y都是实数集R时，XY就是平面）;然后把XY的任何子集F称为从X到Y的一个关系.进一步，若关系F满足：对任意xX，存在唯一的yY使得(x,y)F，就称F是定义在X上取值于Y的一个映射.特别，当X和Y都是实数集的某个子集合时，则把定义在X上取值于Y的映射F称为（实）函数.直观地，（实）函数F就是平面上的一个图形使得对于对每一个xX，过x平行于Y轴的直线与该图形有且只有一个交点.显然，F就是通常说的函数图像，而现在把它称为函数.但为了和历史的惯例一致，通常仍然把函数F表成y=f(x),xX.函数由它的图像所决定，图像决定了对应关系，因此，函数与表示它时所采用的字母无关，即把x,y换成别的字母也可以.通常把f(x)中x所代表的量称为自变量.按照这样的定义,实数列{an}也是函数，可写出y=f(n),nN，这时候，n是自变量.通常把可在一个区间任意取值的变量称为连续变量，把只在自然数集N或它的子集合上取值的变量称为离散变量.因此，数列的自变量是离散变量.不过，本书采用习惯说法，如果未另做说明,只把定义在一个或多个区间上的函数称为函数，不把数列{an}称为函数.由上面讨论知，数列与函数的区别仅在于其定义域，而函数的自变量是连续变量.目前出版的许多教材和参考书，在介绍数学思想方法时，把利用函数的性质来解决问题的思想方法称为函数思想或函数方法.§1.9.3极限与极限思想极限思想是近代数学的一种重要思想，指的是用极限概念和性质来分析与处理数学问题的思想方法.极限概念起源于微积分，与此同时，微积分理论（数学分析）就是以极限概念为基础,极限理论为工具来研究函数(包括级数)的一门学科分支.具体说,微积分理论的一系列重要概念,如函数的连续性、导数、积分、级数求和等都是通过极限来定义的.微积分理论是牛顿（I.Newton）和莱布尼兹（N.Leibniz）于18世纪分别创立的.初期,他们以无穷小(量)的概念为基础来建立微积分,不久后遇到逻辑上的困难,所以后来他们都接受了极限思想，即以极限概念作为考虑问题的出发点.但是，当时他们只采用直观的语言来描述极限.例如，他们是这样描述数列{an}的极限的：“如果当n无限大时，an无限地接近常数A，就称an以A为极限”.这样的定义没定量地说明“什么是n无限大”，“什么是an无限地接近常数A”，因此不能作为科学论证的逻辑基础.直到19世纪70年代，经过许多数学家长期努力，才形成现在的-N和定义方法.对于上一例子，可用-N方法定义为：如果对任何，都存在自然数，使得当nN时，总是有不等式|anA|成立，则称{an}当n趋于无限大时以A为极限，记作nnalim=A.这个定义，借助于不等式，通过-N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.因此，这个定义是严格的，可以作为科学论证的基础.所以，现行的教材都采用这样的定义.初学者可能对这样的定义感到不太习惯，但只要经过多次应用，就能在实践中加深对它的认识.§1.9.4关于连续的概念的两点说明1.极限与函数符号的交换据连续的定义（§1.6.1定义1）,设函数y=f(x)在x0的某一邻域有定义,则该函数在x0连续等价于)(lim0xfxx=f(0limxxx)=f(x0).更一般的情形由§1.6的定理6体现.定理6设函数)(xu当0xx时的极限存在且等于a，即,)(lim0axxx而函数)(ufy在点au连续，那么复合函数)]([xfy当0xx时的极限也存在且等于f(a)，即)(lim0xfxxf[0limxx(x)]=f(a).(1.6.1)即在定理6的条件下，求复合函数)]([xf的极限时，函数符号f与极限号可以交换次序.具体例子,见§1.6的例9-例11.2.连续函数的另一些等价定义函数y=f(x)在点x0连续等价于)()(lim00xfxfxx．所以，函数y=f(x)在点x0连续的定义又可叙述为：对任意的0，总存在相应的0，使得当0xx时，恒有)()(0xfxf．注意到0xx当且仅当xU(x0,),)()(0xfxf当且仅当f(x)U(f(x0),),因此，y=f(x)在点x0连续等价于:对f(x0)的任何邻域,存在x0的一个邻域,使得这个邻域中的每个点x的函数值得都落在f(x0)的邻域中.如果采用映射的语言,把f看成从X到Y的映射,f(x)称为x在f下的像,对X的子集合V,f(V)={f(x)|xV}称为V在f下的像,则f(x)在点x0连续等价于:对f(x0)的任何邻域V,存在x0的一个邻域W,使得f(W)V,即邻域W在f下的像落在V之中.由于f(W)V等价于Wf1(V)(称为V的逆像),因此f(x)在点x0连续等价于:对f(x0)的任何邻域V,存在x0的一个邻域W,使得Wf1(V).即f(x0)的任何邻域V的逆像都覆盖了x0的某个邻域W.最后的定义可以推广的一般的度量空间,或更一般的拓扑空间去.§1.9.5分清有限与无限的区别---极限的运算应注意的事项1．极限运算准则的讨论§1.3.2极限运算准则的定理3指出:若数列{an}与{bn}皆收敛，则数列{anbn},{anbn}都是收敛数列，且nnnnnnnbabalimlimlim,nnnnnnnbabalimlimlim.（A）定理3的条件是充分的但非必要的下面以乘法为例作出说明.如果只有数列{an}收敛，{bn}不收敛，这时候，不能肯定{anbn}是否收敛，即可能收敛，也可能不收敛.例1求极限0limx(xsinx1).分析因为当x0时sinx1无极限，本例不能利用极限运算法则来求极限.但由于sinx1是有界量，x是无穷小量，故乘积仍然是无穷小量，即所求极限为0.例2．判断极限的存在性:0limx[(x+1)sinx1].不难看出本例极限不存在.例3．0limx[(x+1)x1].本例为无穷大量,即0limx[(x+1)x1]=.（B）有限个变量的相加（乘）的极限用数学归纳法,由上述定理3立刻可推出如下结论:若k个数列{a)1(n},{a)2(n},…,{a)(kn}皆收敛(其中k是取定的自然数,k2)，则数列{a)1(na)2(n,…,a)(kn},{a)1(na)2(n…a)(kn}都是收敛数列，且nlim(a)1(na)2(n,…,a)(kn)=nlima)1(nnlima)2(n,…,nlima)(kn,nlim(a)1(na)2(n,…,a)(kn)=nlima)1(nnlima)2(n…nlima)(kn.例4求nlim[mnnn2221...2111](m是取定的自然数,m2).解由于nlimin21=0,i=1,2,…,m,其中m是取定的自然数,m2,所以nlim[mnnn2221...2111]=0+0+…+0(m个0相加)=0.例5求nlim[nnnn2221...2111].分析表面看来，括号中只有n项，似乎也是有限项，但是，在考虑的极限过程中，n是变量且n.因此，本例与例4有根本的区别，不能像例4那样，利用收敛的极限运算准则的定理3之（1），推出它等于有限个极限之和.也就是说，采用如下做法是错的：nlim[nnnn2221...2111]=0+0+…+0(n个0相加)=0.这时，应另想办法.事实上，可利用两边夹的方法求出本例的极限.解因为nnn21nnnn2221...2111n112n,且nlimnnn21=1，nlimn112n=1，所以，nlim[nnnn2221...2111]=1.2.关于无穷大量与的初步认识（A）无穷大量不收敛.记号nnalim=，0limxx1=分别表示在相应的极限过程中{an}和x1是一个无穷大量，不表示nnalim或0limxx1收敛.这与nnalim=A或0limxf(x)=A（A是实数）有本质区别.因此两个无穷大量或一个无穷大量与一个有极限的变量的加减乘的结果都不能用极限四则运算法则来描述.（B）无限与有限有根本的区别.3+13;一般地，对任何实数a，a+1a.这是众所周知的.在微积分中不定义的运算；在“实变函数论”中把当成广义实数，那时规定+1=，不会出现+1的情形.之所以这样规定是因为，若把理解为无穷大量，那么“无穷大量+常量”仍然是无穷大量.可见无穷与有穷是有很大的区别的.（C）不能随意把代入极限式中.对于§1.9.4谈到的§1.6定理6，若其中的函数)(xu当0xx时是无穷大量，则定理不再成立.例6求xxx11)1(lim与xxx10)1(lim.分析设)(ufy=(1+uu)1,u=(x)=x1,那么,1)(lim1xx而y=f(u)在u=1连续，所以可以根据定理6得出xxx11)1(lim=)(1))(11(limxxx=(1+1)1=2.对于xxx10)1(lim,这时候考虑的极限过程是x0.但有些初学者也模仿x1的情形，写成xxx10)1(lim=(1+0)=1.这就错的.因为当x0时，(x)=x1是无穷大量，即当0xx时其极限不存在，不能应用定理6.其实，我们可以根据重要极限推出xxx10)1(lim=e.§1.9.6高等数学处处充满辩证法所谓辩证法是一种哲学思想方法，它主要研究事物的对立统一与互相转化.特别，自然辩证法就是研究自然科学的哲学思想方法.马克思和恩格斯对微积分理论很感兴趣，并研究了其中的许多辩证法原理.采用-N和-方法来定义极限时，是任意的正数（是可变的），但寻找与它对应的时，要求对每一个至少存在一个，这时又是取定的；同样，在函数的f(x)定义中，x看成变量，但考虑对应时，要求x在定义域的任意取定的值，要求有唯一的值y与之对应.因此，x时而看成变量，时而看成一个取定的值.前面谈到的无限与有限的概念.无限与有限显然是对立的.我们已经看到，无限与有限有许多重要差别，但最主要的差别可说成是:一个无限集合可以与它的真子集建立一一对应（例如自然数集N和其偶数子集可以通过f(n)=2n建立一一对应），而有限集合就不行.微积分理论在一定意义下