由参数方程确定的函数的导数高阶导数

定理.)(1)()(0)()(yxfIxfyyIyxxy且有,内也可导在对应区间它的反函数么那,且内单调、可导在某区间如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.1、反函数的导数内容回顾定理).()(,)]([,)()(,)(0000000xufdxdyxxfyxuufyxxuxx且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)2、复合函数的求导法则隐函数求导法则隐函数求导步骤：A、对方程两边求导；B、方程仅含x的式子按正常求导；凡含y的式子要按复合函数求导，且结果必有C、将的系数合并移项到等式左边，其余移项到等式右边，求解出。)(dxdyy或yy对数求导法观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法.)(.)(:导数多个函数的连乘除的求幂指函数的求导数该方法主要用于21主要内容：第三节由参数方程确定的函数的导数、高阶导数一、由参数方程确定的函数的导数；二、高阶导数..,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t一、由参数方程所确定的函数的导数),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(tt)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx注意分子母不要颠倒例1解：dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1处的切线方程。在求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即._______0)(1sin2.2相应点的切线方程是在所确定的曲线由参数方程例txyyeytxt000)1sin2()(tttttdtdedtddtdxdtdydxdyk解：21cos20ttte1)0(,1)0(yx而)1(211xy切线方程为：032xy.____________10)21(.322kttytktx，则常数切线斜率为处的在点若曲线例02200)(])21[(1ttttktdtdtdtddtdxdtdydxdyk解：ktktt42)21(404k求下列曲线在对应点处的切线方程和法线方程：处；在012sin)1(2xxxy.2cossin)2(处在tttyttx处；在0)3(22xxeyx.2cossin)4(处在tteytextt随堂练习1、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx二、高阶导数记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf例4).0(),0(,arctanffxy求设解211xy)11(2xy22)1(2xx))1(2(22xxy322)1()13(2xx022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.2（1）直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2、高阶导数求法举例例5.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x3)2)(1(x))1((2xy)1()1()1()(nxnynn则为自然数若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0例6.),1ln()(nyxy求设解注意:xy112)1(1xy3)1(!2xy4)4()1(!3xy)1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)（2）高阶导数的运算法则:则阶导数具有和设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu（3）间接法:常用高阶导数公式nnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(利用已知的高阶导数公式,通过四则1)(!)1()1(nnnxnx运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例6.,11)5(2yxy求设解)1111(21112xxxy])1(!5)1(!5[2166)5(xxy])1(1)1(1[6066xx1)(!)1()1(nnnxnx,)()(二阶可导若函数tytx)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()(()(1)()()()()(2tttttt)()()()()(322tttttdxyd即由参数方程所确定的函数的二阶导数dtdxttdtd))()((dtdxttdtd))()((例7解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec4；xxycos)1(求下列函数y的二阶导数：.12)5(2tytx；12)2(2xyy随堂练习：；1)3(22xyyxtytxsin3cos4)4(内容小结2.高阶导数的定义及物理意义;3.高阶导数的运算法则；4.n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.1.参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;