第一章第二节2.2等差数列的前n项和

第二节2.2等差数列的前n项和一．选择题：1．已知等差数列{an}中，a１＝１，d=1，则该数列前9项和S9等于（）A.55B.45C.35D.252．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（）A．180B．－180C．90D．－903．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A．9B．10C．19D．294.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{nSn}的前11项和为（）A.-45B.-50C.-55D.-665．将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…….则第2008层正方体的个数是（）.A．4011B．4009C．2017036D．20090106．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于()A.18B.27C.36D.457．某乡建设线路，有48根电线杆，最近一根竖直离电线杆堆放处1000m，以后每隔50m竖一根，如果一辆车一次能运6根，全部运完返回，这辆车共走了（）.A．18400mB．18450mC．36800mD．36900m二．填空题：8．等差数列na的前n项和nnSn32．则此数列的公差d．9.数列｛an｝，｛bn｝满足anbn=1,an＝n2＋3n＋2，则｛bn｝的前10次之和为10.已知整数对排列如:1,1,1,2,2,1,1,32,2,3,1,1,4,2,3,…………3,2,4,1,1,5,2,4,，则第60个整数对是_______________.11．若na是首项为1，公差为2的等差数列，11nnnaab，则数列nb的前n项和nT=．三．解答题：12.设｛an｝为等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，已知Tn为数列｛Snn｝的前n项数，求Tn．13．某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？14．已知数列na是等差数列，其前n项和为nS，12,633Sa．（1）求数列na的通项公式；（2）求nSSS11121．15.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列(2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和16．已知数列na的前n项和为nS，且满足21),2(0211anSSannn，（1）求证：nS1是等差数列；（2）求na的表达式．参考答案一．填空题：1.B提示：998911452s2.A提示：由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=－4与a3·a7=－12联立，即a3，a7是方程x2+4x－12=0的两根，又公差d0，∴a7a3a7=2，a3=－6，从而得a1=－10，d=2，S20=180．新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3.B提示：1+2+3+…+n200，即2)1(nn200．显然n=20时，剩余钢管最少，此时用去22019=190根．4.D提示：Sn=2)(1naan,∴21nnaanS=-n,∴前11项的和为-66.5．C提示：由图形观察可知：a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n.以上各式左、右两边同时相加可得an-a1=2+3+…+n，∴an=1+2+3+…+n=2)1(nn.∴a2008=2009×1004=2017036.故选C.6.C提示：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴198aa，则该数列前9项和S9=199()2aa=367．C提示：设每次去时车走的路程依次组成的等差数列为｛an｝，其中a1＝1000＋5×50＝1250，公差d＝6×50＝300，运8趟，所以S8＝8a1＋8×72d=18400，故往返总路程为2S8＝36800．二．填空题8．答案：2提示：411Sa，102322221Saa，62a，2d．9.512提示：bn＝1an＝1（n＋1）（n＋2）＝1n＋1－1n＋2∴S10＝b1＋b2＋…bn＝12－112＝512．10．答案：第60个整数对为7,5提示：观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的n－1个，于是，借助21321nnn估算，取n=10，则第55个整数对为1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为7,511．答案：69nn提示：)321121(21)32)(12(1,12nnnnbnann，用裂项求和法求得96nnTn．三．解答题12.解：设数列｛an｝的公差为d，则Sn＝na1＋12n（n－1）d．∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，∴a1＝－2d＝1∴Snn＝a1＋12·（n－1）d＝－2＋12·（n－1）∴Sn+1n＋1－Snn＝12∴数列｛Snn｝是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴Tn＝n·(－2)＋n（n－1）2·12＝14n2－94n．13．解：因购买住房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列na．则60%11000501a，5.59%1)501000(502a，59%1)2501000(503a，5.58%1)3501000(504a，∴*),201)(1(2160%1)]1(501000[50Nnnnnan．∴数列na是以60为首项，21为公差的等差数列．∴5.552196010a，5.5021196020a，∴1105)5.5060(1020220120aaS，∴实际共付12551501105（万元）．14．解：（1）设数列na的公差为ｄ，由题意得方程组1222336211dada，解得221da，∴数列na的通项公式为ndnaan2)1(1，即nan2．（2）∵nan2，∴)1(2)(1nnaanSnn．∴nSSS11121)1(1321211nn111)111()3121()2111(nnn．15解：（1）f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8∴an=3n-8,∵an+1-an=3,∴{an}为等差数列（2）b0=83n当12n时，bn=8-3n,b1=5Sn=23132)385(2nnnn当n3时bn=3n-8Sn=5+2+1+4+…（3n-8）=7+2281332)831)(2(2nnnn∴Sn=228133231322nnnn321nn16．解：（1）证明：∵)2(1nSSannn，0,211nnnnnSSSSS，∴)2(2111nSSnn．21111aS，新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴nS1是以2为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知nSnndnSSnn21,22)1(2)1(111，当（2n），112(1)nnnaSSnn，又∵n=1时，211a，∴)2()1(21)1(21nnnnan．