第一章解三角形章末质量评估(人教A版必修5)

第一章解三角形章末质量评估(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝4，b＝43，角A＝30°，则角B等于()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°解析根据正弦定理得，sinB＝bsinAa＝43sin30°4＝32.∵ba，∴BA＝30°，∴B＝60°或120°.答案D2．(2011·福州高二检测)在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，则b等于()．A.32B.12C.3D．2解析由正弦定理知asinA＝bsinB，故1sin30°＝bsin60°，解之得b＝3，故选C.答案C3．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为()．A.23B．－23C.14D．－14解析由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x0)，根据余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝3x2＋2x2－4x22×3x×2x＝－14.答案D4．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析由正弦定理，原式可化为sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C.∴△ABC是等边三角形．答案B5．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是()．A．1x5B.5x13C．1x25D．23x25解析由题意，x应满足条件22＋42－x20，22＋x2－420，解得：23x25.答案D6．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是()．A.20B.21C.22D.61解析设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x2＋3x－2＝0得：x＝12，或x＝－2(舍)．∴cosθ＝12，∴第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.答案B7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()．A.85B.58C.53D.35解析由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，∴AC＝3.由正弦定理得sinBsinC＝ACAB＝35.答案D8．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为()．A．43B．5C．52D．62解析∵S△ABC＝12acsinB，∴c＝42，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝25，∴b＝5.由正弦定理2R＝bsinB＝52(R为△ABC外接圆的半径)，故选C.答案C9．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，则边AC上的高是()．A.322B.323C.32D．33解析∵A＝60°，∴sinA＝32.∴S△ABC＝12AB·AC·sinA＝12×3×4×32＝33.设边AC上的高为h，则S△ABC＝12AC·h＝12×4×h＝33，∴h＝323.答案B10．(2011·龙山高二检测)已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()．A.π6B.π3C.π2D.2π3解析p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0⇒a2＋b2－c22ab＝12＝cosC，∴C＝π3.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．在△ABC中，若B＝60°，a＝1，S△ABC＝32，则csinC＝________.解析把已知条件代入面积公式S△ABC＝12acsinB得c＝2.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝3，∴b＝3.由正弦定理csinC＝bsinB＝2.答案212．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________.解析设BC＝x，则根据余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcosC，即5＝25＋x2－2×5·x·910，∴x2－9x＋20＝0，∴x＝4或x＝5.答案4或513．(2011·洛阳高二检测)在△ABC中，若b＝2a，B＝2A，则△ABC为________三角形．解析由正弦定理知sinB＝2sinA，又∵B＝2A，∴sin2A＝2sinA，∴2sinAcosA＝2sinA，∴cosA＝22，∴A＝45°，B＝90°.故△ABC为等腰直角三角形．答案等腰直角14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.解析如图，由已知条件，得AC＝60km，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∠ABC＝45°.由正弦定理BC＝ACsin∠BACsinB＝302(km)答案302三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，且AC→·AB→＝4，求△ABC的面积S.解由已知得b2＋c2＝a2＋bc，∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∴cosA＝12，sinA＝32.由AC→·AB→＝4，得bccosA＝4，∴bc＝8，∴S＝12bcsinA＝23.16．(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝3≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝sin30°AC·AB＝32，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．17．(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C.解由B＝π－(A＋C)，得cosB＝－cos(A＋C)．于是cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC，由已知得sinAsinC＝12.①由a＝2c及正弦定理得sinA＝2sinC．②由①、②得sin2C＝14，于是sinC＝－12(舍去)，或sinC＝12.又a＝2c，所以C＝π6.18．(12分)在△ABC中，若sin(C－A)＝1，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．解(1)由sin(C－A)＝1知，C－A＝π2，且C＋A＝π－B，∴A＝π4－B2，∴sinA＝sinπ4－B2＝22cosB2－sinB2，∴sin2A＝12(1－sinB)＝13，又sinA0，∴sinA＝33.(2)由正弦定理得ACsinB＝BCsinA，∴BC＝ACsinAsinB＝6·3313＝32，由(1)知sinA＝33，∴cosA＝63.又sinB＝13，∴cosB＝223.又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×223＋63×13＝63，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×6×32×63＝32.19．(12分)在△ABC中，已知sinB＝cosAsinC，AB→·AC→＝9，又△ABC的面积等于6.(1)求C；(2)求△ABC的三边之长．解(1)设三角形三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，∵sinB＝cosAsinC，∴cosA＝sinBsinC，由正弦定理有cosA＝bc，又由余弦定理有cosA＝b2＋c2－a22bc，∴bc＝b2＋c2－a22bc，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为Rt△ABC，且C＝90°.(2)又AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝9，S△ABC＝12|AB→||AC→|sinA＝6，①②②÷①，得tanA＝43＝ab，令a＝4k，b＝3k(k0)，则S△ABC＝12ab＝6⇒k＝1，∴三边长分别为a＝4，b＝3，c＝5.