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第一章解三角形章末质量评估(时间:100分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,a=4,b=43,角A=30°,则角B等于().A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°解析根据正弦定理得,sinB=bsinAa=43sin30°4=32.∵ba,∴BA=30°,∴B=60°或120°.答案D2.(2011·福州高二检测)在△ABC中,a=1,A=30°,B=60°,则b等于().A.32B.12C.3D.2解析由正弦定理知asinA=bsinB,故1sin30°=bsin60°,解之得b=3,故选C.答案C3.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,则cosC的值为().A.23B.-23C.14D.-14解析由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4知,a∶b∶c=3∶2∶4,令a=3x,则b=2x,c=4x(x0),根据余弦定理得,cosC=a2+b2-c22ab=3x2+2x2-4x22×3x×2x=-14.答案D4.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是().A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析由正弦定理,原式可化为sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,∴tanA=tanB=tanC.又∵A,B,C∈(0,π),∴A=B=C.∴△ABC是等边三角形.答案B5.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是().A.1x5B.5x13C.1x25D.23x25解析由题意,x应满足条件22+42-x20,22+x2-420,解得:23x25.答案D6.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是().A.20B.21C.22D.61解析设长为4,5的两边的夹角为θ,由2x2+3x-2=0得:x=12,或x=-2(舍).∴cosθ=12,∴第三边长为42+52-2×4×5×12=21.答案B7.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则sinBsinC的值为().A.85B.58C.53D.35解析由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即72=52+AC2-10AC·cos120°,∴AC=3.由正弦定理得sinBsinC=ACAB=35.答案D8.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为().A.43B.5C.52D.62解析∵S△ABC=12acsinB,∴c=42,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=25,∴b=5.由正弦定理2R=bsinB=52(R为△ABC外接圆的半径),故选C.答案C9.在△ABC中,AB=3,A=60°,AC=4,则边AC上的高是().A.322B.323C.32D.33解析∵A=60°,∴sinA=32.∴S△ABC=12AB·AC·sinA=12×3×4×32=33.设边AC上的高为h,则S△ABC=12AC·h=12×4×h=33,∴h=323.答案B10.(2011·龙山高二检测)已知△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为().A.π6B.π3C.π2D.2π3解析p∥q⇒(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即c2-a2-b2+ab=0⇒a2+b2-c22ab=12=cosC,∴C=π3.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)11.在△ABC中,若B=60°,a=1,S△ABC=32,则csinC=________.解析把已知条件代入面积公式S△ABC=12acsinB得c=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=3,∴b=3.由正弦定理csinC=bsinB=2.答案212.在△ABC中,若AB=5,AC=5,且cosC=910,则BC=________.解析设BC=x,则根据余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcosC,即5=25+x2-2×5·x·910,∴x2-9x+20=0,∴x=4或x=5.答案4或513.(2011·洛阳高二检测)在△ABC中,若b=2a,B=2A,则△ABC为________三角形.解析由正弦定理知sinB=2sinA,又∵B=2A,∴sin2A=2sinA,∴2sinAcosA=2sinA,∴cosA=22,∴A=45°,B=90°.故△ABC为等腰直角三角形.答案等腰直角14.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为________km.解析如图,由已知条件,得AC=60km,∠BAC=30°,∠ACB=105°,∠ABC=45°.由正弦定理BC=ACsin∠BACsinB=302(km)答案302三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC,且AC→·AB→=4,求△ABC的面积S.解由已知得b2+c2=a2+bc,∴bc=b2+c2-a2=2bccosA,∴cosA=12,sinA=32.由AC→·AB→=4,得bccosA=4,∴bc=8,∴S=12bcsinA=23.16.(10分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?解如图所示,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1千米.在△ABC中,AB=3≈1.732(千米),AC=1(千米),∠ABC=30°,由正弦定理sin∠ACB=sin30°AC·AB=32,∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1(千米),在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,∴△ACD为等边三角形,∴CD=1(千米).∵BC12×60=5,∴在BC上需5分钟,CD上需5分钟.所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.解由B=π-(A+C),得cosB=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC,由已知得sinAsinC=12.①由a=2c及正弦定理得sinA=2sinC.②由①、②得sin2C=14,于是sinC=-12(舍去),或sinC=12.又a=2c,所以C=π6.18.(12分)在△ABC中,若sin(C-A)=1,sinB=13.(1)求sinA的值;(2)设AC=6,求△ABC的面积.解(1)由sin(C-A)=1知,C-A=π2,且C+A=π-B,∴A=π4-B2,∴sinA=sinπ4-B2=22cosB2-sinB2,∴sin2A=12(1-sinB)=13,又sinA0,∴sinA=33.(2)由正弦定理得ACsinB=BCsinA,∴BC=ACsinAsinB=6·3313=32,由(1)知sinA=33,∴cosA=63.又sinB=13,∴cosB=223.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=33×223+63×13=63,∴S△ABC=12AC·BC·sinC=12×6×32×63=32.19.(12分)在△ABC中,已知sinB=cosAsinC,AB→·AC→=9,又△ABC的面积等于6.(1)求C;(2)求△ABC的三边之长.解(1)设三角形三内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,∵sinB=cosAsinC,∴cosA=sinBsinC,由正弦定理有cosA=bc,又由余弦定理有cosA=b2+c2-a22bc,∴bc=b2+c2-a22bc,即a2+b2=c2,所以△ABC为Rt△ABC,且C=90°.(2)又AB→·AC→=|AB→||AC→|cosA=9,S△ABC=12|AB→||AC→|sinA=6,①②②÷①,得tanA=43=ab,令a=4k,b=3k(k0),则S△ABC=12ab=6⇒k=1,∴三边长分别为a=4,b=3,c=5.
本文标题:第一章解三角形章末质量评估(人教A版必修5)
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