第一章集合与简易逻辑

1集合与常用逻辑用语一．集合的有关概念1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。②表示方法列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c}描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x∣P(x)}.图示法：用文氏图表示题中不同的集合。③性质确定性：AaAa或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C实数集R整数集Z自然数集N正整数集N（或N+）有理数集Q3．元素与集合的关系：AaAa或4．集合与集合的关系：①子集：若对任意Ax都有Bx[或对任意Bx都有Ax]则A是B的子集。记作：ABBA或CACBBA,②真子集：若BA，且存在AxBx00,但，则A是B的真子集。记作：AB[或“BABA且”]AB，BCAC③集合相等：BAABBA且④空集：不含任何元素的集合，用表示，对任何集合A有A，若A则A5．子集的个数若},,{21naaaA，则A的子集个数为2n个、真子集的个数2n-1个、非空真子集的个数为2n-2个。二．集合的运算1．有关概念①交集：}{BxAxxBA且②并集：}{BxAxxBA或2③全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示。④补集：}{AxUxxACU且2．常用运算性质及一些重要结论①ABBAAAAA②ABBAAAAAA③UACAACAUU④ABAABABBAB⑤)()()()()()(BCACBACBCACBACUUUUUU三、逻辑联结词与四种命题（一）逻辑联结词四种命题1．命题：可以判断真假的语句叫做命题。2．逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。或：两个简单命题至少一个成立且：两个简单命题都成立，非：对一个命题的否定3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。4．表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单的命题，复合命题的构成形式有三类：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)。5．真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。pq非pP或qP且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假（二）四种命题1．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式为：3原命题：若p则q（qp）逆命题：若q则p)(pq否命题：若┐p则┐q)(qp逆否命题：若┐q则┐p)(pq原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；逆命题与否命题互为逆否命题，同真假；2．四种命题的关系：注意：一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？否命题：既否定条件又否定结论命题的否定：只否定结论14、全称量词与存在量词全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题。一般形式为：命题P：)(xpMx，。全称命题的否命题：00()pxMPx：，。特称命题：含有存在量词的命题称为存在性命题。一般形式为：命题P：00()xMpx，。特称命题的否命题：)(xPMxp，：。注意：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否命题全称命题六、充要条件（一）充分条件、必要条件和充要条件若qp，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即“前者为后者的充分，后者为前者的必要”。若qp，则p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件。若qp，且qp，那么称p是q的充分不必要条件。若pq，且qp，那么称p是q的必要不充分条件。若pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件。(二)给定两个命题，p、q,可以考虑集合A=｛x︱x满足p｝,B=｛x︱x满足q｝,则有1．若AB，则p是q的充分条件。互逆原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q则p互为为互否逆逆否互否互否互逆42．若AB，则p是q的必要条件。3．若A=B，则p是q的充要条件。记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。高考链接1.（2011高考，1）设集合U=1,2,3,4,1,2,3,M2,3,4,N则U=（MN）Ið（）（A）12，（B）23，（C）2，4（D）1，42、（2012,1）已知集合A={x|x2－x－20}，B={x|－1x1}，则()（A）AB（B）BA（C）A=B（D）A∩B=3.（辽宁卷1）已知集合3|0|31xMxxNxxx，≤，则集合|1xx≥＝（）A．MNB．MNC．)(NMCUD．)(NMCU4.（江西卷2）定义集合运算:,,.ABzzxyxAyB设1,2A,0,2B,则集合AB的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．65.（天津卷1）设集合|0{8}xxNU，{1,2,4,5}S，{3,5,7}T，则)(TCSU（）A．{1,2,4}B．{1,2,3,4,5,7}C．{1,2}D．{1,2,4,5,6,8}6.（安徽卷2）．集合|lg,1AyRyxx，2,1,1,2B则下列结论正确的是（）A．2,1ABB．()(,0)RCABC．(0,)ABD．()2,1RCAB7（山东卷1）满足4321,,,aaaaM,且21321,,,aaaaaM的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．48.（湖北卷2）若非空集合,,ABC满足ABC，且B不是A的子集，则（）A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C.“xC”是“xA”的充要条件D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件9.（湖南卷2）“12x成立”是“(3)0xx成立”的()A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（福建卷2)设集合01|xxxA，30|xxB，那么“Am”是“Bm”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.（广东卷6）已知命题:p所有有理数都是实数，命题:q正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．()pqB．pqC．()()pqD．()()pq