第一节函数的有界性和最值

湖北省鄂南高中2015届理科实验班数学培优讲义函数部分第一节：函数的有界性和最值一、有界性定义1：设A为函数()fx定义域的子集，若M，使得xA有()fxM(或()fxM)，则称()fx在A上有上(或下)界.称M为它的一个上(或下)界.定义2：设A为函数()fx定义域的子集，若()Mx，使得xA有()()fxMx(或()()fxMx)，则称()fx在A上有上(或下)界函数.称()Mx为它的一个上(或下)界函数.二、最值略三、例题讲解例1、求证函数11()sinfxxx在1(0,)2x上无上界.证明：对于任意的0M，只需证明01(0,)2x使得()fxM.为此：取001,,()(2)sin(2)2,22222xkNfxkkkkNk要使得：2,2kMkN，只需要1()22kM，可取1[()]122kM故函数11()sinfxxx在1(0,)2x上无上界.例2、(北约2010)求方程1162271021xxxx的实根的个数.解：注意到211622232332xxxxx2271022252552xxxxx所以：方程左边325221xx，从而方程无实根.例3、2(),,fxxpxqpqR，若()fx在[1,1]x上的最大值为M，则M的最小值为.解：11max()xMfx，(1)1,(1)1,(0)MfpqMfpqMfq则4112(1)(1)22Mpqpqqpqpqq湖北省鄂南高中2015届理科实验班数学培优讲义函数部分故12M，10,2pq时取得等号.例4、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层一人.而电梯只允许停一层，只可让一人满意，其余18人都要步行上楼或下楼.假定乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2，所有人的不满意度和为S，为使得S最小，电梯应停在第层.解：设电梯应停在第x层(220x)，则2[123(3)(2)]1[123(19)(20)]23857225()4212624Sxxxxx则当14x时，S最小.例5、求函数22()2342fxxxxx的最小值.解：定义域为(,0][2,)当0x时，2234yxx和22yxx均为减函数，从而()fx为减函数，当2x时，2234yxx和22yxx均为增函数，从而()fx为增函数，从而，min()min{(0),(2)}2fxff.例6、()2125834fxxxxxx，则()fx的最小值为.解：当ab时，xaxb的最小值为ba在数轴上,ab两点之间取得.134xx，18xx，25xx分别在区间[1,34],[1,8],[2,5]中取最小值33,7,3，和为43.例7、(2011北约)求1213120111xxxx的最小值.解：由绝对值的几何意义：xaxb的最小值为ba在数轴上,ab两点之间取得.所以将()fx整理为11111111122333201120112011xxxxxxxxx共有1232011=10062011项，则()fx可理解为x到这10062011个点的距湖北省鄂南高中2015届理科实验班数学培优讲义函数部分离之和.从两端开始向中间靠拢，112011xx的最小值在1[,1]2011x取得，1122011xx的最小值在11[,]20112x取得，………所以()fx的最小值应在正中间某个零点或相邻的两个零点之间取得由1006201150320112可得取得最小值的x的围在第5032011个零点和第50320111个零点之间(易得这两个零点相同)由(1)503201114212nnn，所以第5032011个零点和第50320111均为11422x，则min1592043()()1422711fxf.例8、对给定的正数,(0,1)pq，221,1pqpq，试求函数2222()(1)(1)fxxpxxqx在区间[1,]qp上的最大值.解法一、为方便起见，令2222,(1),1,upxvqxaxbx，则有222222,,1ubpvaqab，faubv所以2222222222222222222222222222()()()11(22)[2()]441[()2]4faubvabuvubvaabuvpqabuvpqabuvuvpquvpqabab22222221[()()]4pquvabpq22222222222221[()1](10)41[1]4pquvpqpqpqpq等号成立当且仅当0uv即2222(1)pxqx，解得221(1)2xpq注意到1pq，,(0,1)pq，易证明2211(1)2qpqp，湖北省鄂南高中2015届理科实验班数学培优讲义函数部分故当221(1)2xpq时，()fx在区间[1,]qp上的最大值222221[1]4pqpq解法二：如图，线段AB的长度为1，M为线段AB上的任一点，,1AMxBMx，作直角梯形ABCD使得2222,(1)ADpxBCqx，则,MDpMCq(可使得,(0,1)pq，显然在图中恒有1pqDC)于是，22221cos,cos,sin,(1)sinxqxppxpqxqcossinsincossin()sinfpqpqpqpq在MCD中，由余弦定理及条件221pq，得222221cos022pqCDpqpqpq22222(1)sin14pqpq所以2222222222(1)(1)144pqpqfpqpqpq等号成立当且仅当1CDABCD为矩形ADBC2222221(1)(1)2pxqxxpq作业：1.设,xy是实数，求2223uxxyyxy的最小值.解法一：配方2213()(1)2224yuxy解法二：配方22211[()(1)(2)]22uxyxy，再用不等式平方平均值大于等于算数平均值，即可DABCM湖北省鄂南高中2015届理科实验班数学培优讲义函数部分解法三：判别式法解法四：换元xabyab消去交叉项，再配方2.若44log(2)log(2)1xyxy，则xy的最小值为.解：判别式法，最小值为3.3.21()()nkfxxk，则()fx的最小值为.解：22221()(1)(2)()(1)(1)(21)6fxxxxnnxnnxnnn所以当12nx时，函数的最小值为31()12nn.4.(2009年湖北改编)函数2()2fxxbxc，()(11)fxx的最大值为M.若Mk对任意的,bc恒成立，试求k得最大值.解：max12k.5.设函数2()83(0)fxaxxa，对于给定的负数a有一个正数()la，使得在整个区间[0,()]la上，不等式()5fx都成立.问：a为何值时()la最大？求出这个最大的()la，并证明你的结论.解：8a时，max15()2la.