第10章-扭转与剪切变形

材料力学第10章扭转与剪切变形第10章扭转与剪切变形10.1扭转的概念及实例工程中有一类等直杆，其受力和变形特点是：杆件受力偶系作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴(如图10.1所示)，截面B相对于截面A转了一个角度，称为扭转角。同时，杆表面的纵向线将变成螺旋线。具有以上受力和变形特点的变形，称为扭转变形。图10.1扭转杆工程中发生扭转变形的杆件很多。如船舶推进轴(如图10.2a所示)，当主机发动时，带动推进轴转动，这时主机给传动轴作用一力偶矩，而螺旋桨由于水的阻力作用给轴一反力偶矩(如图10.2b所示)，使推进轴产生扭转变形。单纯发生扭转的杆件不多，但以扭转为其主要变形之一的则不少，如汽车方向盘操纵杆(如图10.3所示)、钻探机的钻杆(如图10.4所示)等，都存在不同程度的扭转变形。工程中把以扭转为主要变形的直杆称为轴。eM图10.2船舶推进轴图10.3方向盘操纵杆图10.4钻探机的钻杆本章只讨论薄壁圆管及实心圆截面杆扭转时的应力和变形计算，这是由于等直圆杆的物性和横截面的几何形状具有极对称性，在发生扭转变形时，可以用材料力学的方法来求解。对于非圆截面杆，例如矩形截面杆的受扭问题，因需用到弹性力学的研究方法，故不多论述。10.2扭矩的计算和扭矩图10.2.1外力偶矩的计算传动轴为机械设备中的重要构件，其功能为通过轴的转动以传递动力。对于传动轴等转动构件，往往只知道它所传递的功率和转速。为此，需根据所传递的功率和转速，求出使轴发生扭转的外力偶矩。设一传动轴(如图10.6所示)，其转速为n，轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去。设通过某一轮所传递的功率为P，由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即为功率P，等于该轮处力偶之矩Me与相应角速度之乘积，即(a)工程实际中，功率P的常用单位为kW，力偶矩Me与转速n的常用单位分别为Nm与r/min(转/每分)。此外，又由于于是在采用上述单位时，式(a)变为ePM1W1Nm/s3e21060nPM由此得(10-1)如果功率P的单位用马力()，则(10-2)对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转向相同，而从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反，如图10.5所示。图10.5传动轴kWeNmr/min9550PMn1735.5Nm/s马力/min7024eNmrPMn马力10.2.2扭矩及扭矩图要研究受扭杆件的应力和变形，首先要计算内力。设有一圆轴AB(如图10.6a所示)，受外力偶矩Me作用。由截面法可知，圆轴任一横截面m—m上的内力系必形成为一力偶(如图10.6b所示)，该内力偶矩称为扭矩，并用T来表示。为使从两段杆所求得的同一截面上的扭矩在正负号上一致，可将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示，并规定当力偶矢指向截面的外法线时扭矩为正，反之为负。据此，如图10.6b和图10.6c所示中同一横截面上的扭矩均为正。作用在传动轴上的外力偶往往有多个，因此，不同轴段上的扭矩也各不相同，可用截面法来计算轴横截面上的扭矩。如图10.7a所示，轴AD受外力偶矩、、、的作用。设，求截面Ⅰ—Ⅰ、Ⅱ—Ⅱ、Ⅲ—Ⅲ上的内力。e1Me2Me3Me4Me3e1e2e4MMMM图10.6扭矩的正负规定图10.7截面法计算扭矩(1)假想用一个垂直于杆轴的平面沿Ⅰ—Ⅰ截面截开，任取一段为脱离体(如图10.7b所示)。由平衡方程，得(2)沿Ⅱ-Ⅱ截面处截开，取左段为脱离体(如图10.7c所示)，由平衡方程，得(3)沿Ⅲ-Ⅲ截面处截开，仍取左段为脱离体(如图10.7d所示)，由平衡方程，得将代入上式，得0xM1e10TM1e1TM0xM2e1e20TMM2e1e2TMM0xM3e1e2e30TMMM3e1e2e3TMMMe3e1e2e4MMMM3e4TM为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在截面的位置，常需画出扭矩随截面位置变化的函数图像，这种图像称为扭矩图(如图10.7e所示)，可仿照轴力图的作法绘制。【例题10.1】传动轴如图10.8a所示，其转速，功率由A轮输入，B、C两轮输出。若不计轴承摩擦所耗的功率，已知：，，及。试作轴的扭矩图。解：(1)计算外力偶矩。各轮作用于轴上的外力偶矩分别为200r/minn1500kWP2150kWP3150kWP4200kWP315009550Nm23.8810Nm23.88kNm200M3231509550Nm7.1610Nm7.16kNm200MM342009550Nm9.5510Nm9.55kNm200M图10.8(2)由轴的计算简图(如图10.8b所示)，计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面2—2上的扭矩。沿截面2—2将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图10.8c可知，得同理，在BC段内在AD段内(3)根据以上数据，作扭矩图(如图10.8d所示)。由扭矩图可知，发生在CA段内，其值为。0xM2230TMM22314.32kNmTMM127.16kNmTM349.55kNmTMmaxT14.32kNm扭矩图表明：①当所取截面从左向右无限趋近截面C时，其扭矩为，一旦越过截面C，则为，扭矩在外力偶作用处发生突变，突变的大小和方向与外力偶矩相同；②外力偶之间的各截面(如CA段)，扭矩相同。根据上述规律，可直接按外力偶矩画扭矩图。作图时，自左向右，遇到正视图中箭头向上的外力偶时，向上画，反之向下画。无外力偶处作轴的平行线。请读者思考，若将A轮与B轮位置对调，试分析扭矩图是否有变化，如何变化？最大扭矩的值为多少？两种不同的荷载分布形式哪一种较为合理？1T2TmaxT10.3圆轴扭转时的应力与强度条件上节阐明了圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是一力偶，并建立了其力偶矩(扭矩)与外力偶矩的关系。现在进一步分析内力系在横截面上的分布情况，以便建立横截面上的应力与扭矩的关系。下面先研究薄壁圆筒的扭转应力。10.3.1薄壁圆筒的扭转应力设一薄壁圆筒(如图10.9a所示)，壁厚远小于其平均半径，两端受一对大小相等，转向相反的外力偶作用。加力偶前，在圆筒表面刻上一系列的纵向线和圆周线，从而形成一系列的矩形格子。扭转后，可看到下列变形情况(如图10.9b所示)。图10.9薄壁圆筒的扭转0r010r≤(1)各圆周线绕轴线发生了相对转动，但形状、大小及相互之间的距离均无变化，且仍在原来的平面内。(2)所有的纵向线倾斜了同一微小角度，变为平行的螺旋线。在小变形时，纵向线仍看作为直线。由(1)可知，扭转变形时，横截面的大小、形状及轴向间距不变，说明圆筒纵向与横向均无变形，线应变为零，由胡克定律可得横截面上正应力为零。由(2)可知，扭转变形时，相邻横截面间相对转动，截面上各点相对错动，发生剪切变形，故横截面上有切应力，其方向沿各点相对错动的方向，即与半径垂直。圆筒表面上每个格子的直角也都改变了相同的角度，这种直角的改变量称为切应变。这个切应变和横截面上沿圆周切线方向的切应力是相对应的。由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等，并根据材料均匀连续的假设，可以推知沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且其数值相等。至于切应力沿壁厚方向的变化规律，由于壁厚远小于其平均半径，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。E0r根据上述分析可得，薄壁圆筒扭转时横截面上各点处的切应力值均相等，其方向与圆周相切(如图10.9c所示)。于是，由横截面上内力与应力间的静力关系，得由于为常数，且对于薄壁圆筒，可用其平均半径代替，而积分为圆筒横截面面积，将其代入上式，得(10-3)这里。由图10.9b所示的几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变和相距为的两端面间的相对扭转角之间的关系式：(10-4)式中，为薄壁圆筒的外半径。dAArTr0r0d2AAAr20022TTrA200Arl/rlr通过薄壁圆筒的扭转试验可以发现，当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角与扭矩成正比，如图10.10a所示。利用式(10-3)和式(10-4)，即得与间的线性关系(如图10.10b所示)为(10-5)图10.10剪切胡克定律上式称为材料的剪切胡克定律，式中的比例常数G称为材料的切变模量，其量纲与弹性模量E的相同。钢材的切变模量约为80GPa。应该注意，剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的剪切比例极限时才适用。TGP10.3.2圆截面轴扭转时横截面上的应力为了分析圆截面轴的扭转应力，首先观察其变形。取一等截面圆轴，并在其表面等间距地画上一系列的纵向线和圆周线，从而形成一系列的矩形格子。然后在轴两端施加一对大小相等、转向相反的外力偶。可观察到下列变形情况(如图10.11所示)：各圆周线绕轴线发生了相对旋转，但形状、大小及相互之间的距离均无变化，所有的纵向线倾斜了同一微小角度。根据上述现象，对轴内变形作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，而且，半径仍为直线。简言之，圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。此假设称为圆轴扭转时的平面假设。图10.11圆轴的扭转由此可得如下推论：横截面上只有切应力而无正应力。横截面上任一点处的切应力均沿其相对错动的方向，即与半径垂直。下面将从几何、物理与静力学三个方面来研究切应力的大小、分布规律及计算。1.几何方面为了确定横截面上各点处的应力，从圆杆内截取长为的微段(如图10.12所示)进行分析。根据变形现象，右截面相对于左截面转了一个微扭转角，因此其上的任意半径也转动了同一角度。由于截面转动，杆表面上的纵向线AD倾斜了一个角度。由切应变的定义可知，就是横截面周边上任一点A处的切应变。同时，经过半径上任意点G的纵向线EG在杆变形后也倾斜了一个角度，即为横截面半径上任一点E处的切应变。设G点至横截面圆心点的距离为，由如图10.12a所示的几何关系可得即dxd2ODd2ODdtandGGxEGddx图10.12横截面上的应力分析式中为扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面，该值是个常量，所以，此式表明切应变与成正比，即沿半径按直线规律变化。ddx2.物理方面由剪切胡克定律可知，在剪切比例极限范围内，切应力与切应变成正比，所以，横截面上距圆心距离为处的切应力为(a)由式(a)可知，在同一半径的圆周上各点处的切应力值均相等，其值与成正比。实心圆截面杆扭转切应力沿任一半径的变化情况如图10.13a所示。由于平面假设同样适用于空心圆截面杆，因此空心圆截面杆扭转切应力沿任一半径的变化情况如图10.13b所示。图10.13切应力分布规律图10.14切应力与扭转的关系ddGGx3.静力学方面横截面上切应力变化规律表达式(a)中的是个待定参数，通过静力学方面的考虑来确定该参数。在距圆心处的微面积上，作用有微剪力(如图10.14所示)，它对圆心O的力矩为在整个横截面上，所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即(b)将式(a)代入式(b)，经整理后即得上式中的积分，即为横截面的极惯性矩，则有(10-6)d/dxdAdAdAdAAT2dddAGATx2dAAPIPddTxGI式(10-6)为圆轴扭转变形的基本公式，将其代入式(a)，即得(10-7)此即圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式。由式(10-7)可知，当等于最大值时，即在横截面周边上的各点处，切应力将达到最大，其值为在上式中，极惯性矩与半径都为横截面的几何量，令那么(10-8)PTI