第一讲分解因式

分解因式、提公因式法【基础知识讲解】一．因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式。也叫因式分解．二．因式分解的基本方法：（一）提公因式法：如ab＋ac＝a(b＋c)．1公因式的意义：多项式的各项中都含有的相同的因式，叫公因式。2提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法。3公因式的确定：(1)对于系数，若各项系数都是整数，所提公因式是各项系数的最大公约数；（2）对于字母，一是取各项相同的字母，二是各相同字母的指数取其次数最低的。(3)如果多项式的首项是负数，则公因式符号取“－”，这样可使括号内的第一项系数为正数，但要注意，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．(4)公因式可以是单项式，也可以是多项式．4提公因式的步骤：①找出公因式，②提公因式，并确定另一个公因式。三．()()()()()mmmabmbaabm为偶数为奇数【重难点高效突破】例1、下列由左到右的变形，哪些是分解因式，哪些不是？（1）byaxyxa)(（2）)2)(3()3)(2(xxxx（3）)7(722xaaax（4）1))((122yxyxyx（5）)(2)(222222yxyxyyxx（6）)11)(11(1122yxyxyx（7）xyxyxx22)2(（8）)1)(2(22xxxx例2、通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;（2）根据下面的算式填空：①m2－16=（）（）②y2－6y+9=（）2.③3x2－3x=（）（）;④ma+mb+mc=（）（）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mcm（a+b+c）所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例3、把下列各式分解因式1）2a－4b2）3ab2－3ab3）-3（5x+2y）+x(5x+2y)4）2（x－y）2+3（y－x）5）32)(8)(2xyyx6）nnxx2791【变式练习】：把下列各式分解因式：1、5a－5b;2、ax2+ax－4a;3.、ab2－10a2b;4.、x3+2x2－6x;5、7x2+7x+14;6、－12a2b+24ab2;例4、用简便方法计算：(1)29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03（2）2008200620073363例5、【综合创新应用】262728333能被15整除吗？说说你的理由。例6：已知a=2,b=3,c=5.求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值.【素质能力测试】A组1．请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=______（a－2）;（2）y－x=_____（x－y）;（3）b+a=______（a+b）;（4）（b－a）2=______（a－b）2;（5）－m－n=____－（m+n）;（6）－s2+t2=______（s2－t2）.2．连一连，并指出从左边到右边的变形，哪些属于因式分解。（1）222yxyx)3(xx（2）xx32)1(2abba（3）))((baba2)(yx（4）baba22322ba3、填空题1）ab4+14a2b2－49a3b2=7ab2(________).2）4x3－6x2=2x2(2x+k)，则k=________.3）（a－b)3－4(b－a)2=2(a－b)2(________).4）36－12×33=________.5）若122mm，则2007422mm的值是_______________6）多项式axxababx28142各项的公因式为_________．7）若多项式baxx2因式分解为(x+1)(x-2)，则a=______,b=_________．4、分解因式；(1)15a3b2+5a2b(2)－5a2b3+20ab2－5ab(3)(x+y)(x－y)－(x+y)25、32003－4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？6、先化简，再求值：a(8－a)+b(a－8)－c(8－a)，其中a=1，b=21，c=21.B组一、填空：1．已知312yx，2xy，则43342yxyx的值为___________。2．若x2＋4x－4的值为0，则3x2＋12x－5的值是为_________。3．关于x的二次三项式mxx72能被3x整除，则m的值为_________4．分解因式:1mmaa=________.1)()(mmbaba=_________.5．已知关于x的二次三项式3x2－mx＋n分解因式的结果为（3x＋2）（x－1），则m=_____，n=_____二．解答题：1．已知2x－y=81，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.2．计算：2001×20022002－20012001×20023．利用提公因式法化简多项式：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋……＋x（1＋x）20024．简便运算：①1234612345123452②．199619951995199319952199523235．的值。求，已知1016985609905:232xxx　xx6．的值。、求，均为自然数，且、已知nm　mnnnmmnm12)()(运用公式法分解因式【基础知识精讲】一、运用平方差公式分解因式：1.公式：)yx)(yx(yx222．运用平方差公式分解因式的特点：(1)应是二项式．(2)二项是异号．(3)二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方．二．运用完全平方公式分解因式1．公式：222)(2yxyxyx222)(2yxyxyx．2．运用完全平方公式分解因式的特点：(1)应是三项式．(2)其中两项同号，且各为一个整式的平方．(3)还有一项可“＋”可“－”，且它是前两项幂的底数的乘积的2倍．3．完全平方式：222baba计算：①_____________))((yxyx②________________)2)(2(yxyx③_______________)(2ba④____________2ba⑤_______________)(2cba⑥__________________)2(2cba【重难点高效突破】例1：把下列各式分解因式：（1）25－16x2;（2）9a2－41b2.例2：把下列各式分解因式:（1）2x3－8x（2）22)(cba（3）)1()1(22xbxa（4）4481ba（5）22)()(zyxzyx【变式练习】：把下列各式分解因式：1．224ba2．229149nm3．1)(2ba4．22)(16)(49baba例3：下列式字中完全平方式有______________。（1）442aa（2）2244yxx（3）224124baba（4）22baba（5）962xx（6）25.02aa例4：把下列各式分解因式：（1）x2+14x+49（2）（m+n）2－6（m+n）+9.（3）3ax2+6axy+3ay2（4）－x2－4y2+4xy.【变式练习】：把下列各式分解因式：1．223612yxyx2．229341nmnm3．4422abba4．24129tt5．22168yxxy6．22216)4(xx7．1102524xx8．9)(6)(2baba例5：利用分解因式简化计算：1．2299.299.12．1962029820222例6：综合创新应用：1．　bbaa05694:22已知，求a、b的值。2．求证：127525能被120整除。3．计算：)200711)(200611()411)(311)(211(222224．已知a、b、c是三角形的三边，试确定acbca2222的符号。【素质能力测试】A组一、选择题：1．多项式22yx，22yx，22yx，22yx中能用平方差公式分解因式的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．多项式88ba有（）个因式A.2B.3C.4D.53．下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是()A．22yxyxB．1442xxC．2161xD．2244yxyx二、把下列各式分解因式：1．6372x2．4233ayax3．)()(22abybax4．aaxax225．32244yxyyx6．32312xx7．22)2()2(yxyx8．222224)(babaB组一、填空：1．多项式142x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是__________。（填上你认为正确的一个即可）2．若16)4(292xax是一个完全平方式，则a的值为___________。3．若226kxx是一个完全平方式，则k的值为___________。4．若1248可以被60和70之间某两个数整除，则这两个数为____________。5．已知29,722baba，则ba=__________。二、把下列各式分解因式：1．22492416bbaa2．2)(9)(124yxyx3．322aaa4．nnbaba)()(25．117147nnnxxx6．bcacabcba126494222【课后思考】1．　ba2:已知，求222121baba的值。2.已知三角形的三边长a.b.c,满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.试判断三角形的形状。3.有人说，无论x取何实数，代数式x2+y2-10x+8y+45的值总是正数。你的看法如何？请谈谈你的理由。分组分解法【基础知识精讲】一、分组分解法：把一个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解。这种分解因式的方法叫分组分解法。1.运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组。2.分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌握分组的原则：(1)．分组后有公因式可提，且每组之间又有公因式可提；(2)．分组后能用公式分解，且以后每组之间又能应用公式或提公因式分解。二、运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：1．分组后能提取公因式;2．分组后能运用公式;3.重新分组.【重难点高效突破】例1、①对4x2+2x-9y2-3y运用分组分解法分解因式，分组正确的是：（）A．（4x2+2x）+（-9y2-3y）B．（4x2-9y2）+（2x-3y）C．（4x2-3y）+（-9y2+2x）D．（4x2+2x-3y）-9y2②将x3-x2y-xy2+y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是A．（x3-x2y）+（-xy2+y3）B．（x3-xy2）+（-x2y+y3）C．（x3+y3）+（-x2y-xy2）D．（x3-x2y-xy2）+y3【变式练习】：1、用分组分解法把ab-c+b-ac分解因式分组的方法有（）A、1种B、2种C、3种D、4种2、用分组分解a2-b2-c2+2bc的因式，分组正确的是（）)2()(.)2()(.222222bccbaCbcbcaA)2(.2)(.222222b