第七章二阶电路

第七章二阶电路当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称为二阶电路。二阶电路过渡期的特性不同与一阶电路。用经典的方法分析二阶电路的步骤为：（1）根据KVL，KCL及元件的VCR写出以Cu或Li为变量的二阶微分方程；（2）由(0)(0)CCuu，(0)(0)LLii确定电路的初始状态，即得出(0),CCoduudt或(0),LLodiidt的值；（3）求出二阶微分方程的两个特征根1,2pp，根据的不同取值1,2pp，确定方程的齐次通解（也是电路的零输入响应），一般分为三种情况：112pp为两个不相等的实根（称过阻尼状态）通解=1212ptptAeAe1,22pj为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态）通解=sin()tAet123ppp为相等实根（称临界状态）通解=12()ptAAte4由激励源的函数形式确定方程的特解形式；5由初始条件，确定12,AA或,A等待定常数，得出确定的解。二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。7-1电路如图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S打。求000(0),(0),,,CLRCLdudidiuidtdtdt。解：这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似。先求)0(Cu和)0(Li。t0时，电路处于稳态，把电容断开，电感短路，电路如题解图（a）所示。由图（a）得V6631236//6312)0(cuA2363)0()0(CLui根据电容电压和电感电流的连续性，得V6)0()0(CCuuA2)0()0(LLii画出0等效电路如题解图（b）所示。由图（b）可求得A166126)0(12)0(CRui121)0()0()0(0LRCCiiidtduC242411)0(0CidtduCCV/s而0236)0(3)0()0(0LCLLiuudtdiL所以（a）（b）题解7-1图0)0(0LudtdiLLsAdtduudtddtdiCCR/4)24(6161)612(0007-2图示电路中，电容原先已充电，,6)0(0VUuCR=2.5,L=0.25H,C=0.25F。试求（1）开关闭合后的);(),(tituC（2）使电路在临界阻尼下放电，当L和C不变时，电阻R应为何值。解：（1）开关闭合后，电路的微分方程为022CCCudtduRCdtudLC初始条件为VuuCC6)0()0(0)0()0(0dtduCiiCLL以上二阶齐次方程的特征方程为012RCpLCp方程的特征根为LCLRLRp1)2(223525.025.01)25.025.2(25.025.22即835,23521pp为两个不相等的实根，电路处于过阻尼状态。微分方程的通解为tttptpCeAeAeAeAtu82212121)(带入初始值，得08262121AAAA解得81A22A所以VeetuttC8228)(AeedtduCtittCL)(4)(82（2）使电路在临界阻尼下放电，应满足01)2(2LCLR即225.025.022CLR7-3已知图示电路中HLFCkR5.2,2,1。设电容原先已充电，且VuC10)0(。在t=0时开关闭合。试求)(),(),(tutituLC以及S闭合后的maxi。解：t0后，电路的微分方程为022CCCudtduRCdtudLC方程的特征根为LCLRLRp1)2(224002001025.21)5.2210(5.22106233j即4002001jp4002002jp1p和2p为一对共轭复根，故电路处于欠阻尼或衰减振荡。微分方程的通解为tCAetu)()()sin(tt式中400，200，A和为待定常数，由初始条件VuuCC10)0()0(0)0(0LCidtduC解得10)0(sinCuA0cossin0dtduAAC即435.632arctan200400arctanarctan18.1140020040010)()0(sin)0(2222CCuuA故VtetutC)435.63400sin(18.11)(200当teteLudtduCtittCC400sin10)sin()0()(200mA)435.63400sin(18.11)sin()(200tetAetuttLV当0)()(LtudttdiL时，即0t，310768.2180400435.63ts时，电流达最大值142.5)310768.2400sin(10310768.2200maxeimA7-4图示电路中开关S闭合已久，t=0时S打开。求)(tuC，)(tiL。解：t0后,电路的微分方程为022LLLidtdiRLdtidLC特征方程为012pRLLCp解得特征根LCRCRCp1)21(21297.4910j即97.491097.491021jpjp为两个共轭复根，所以电路为振荡放电过程，其方程的通解为)sin()(tAetitL式中10，97.49。根据初始条件1)0()0(LLiiA，00)0(dtdiLuLC可得0cossin1sinAAA解得68.78997.4arctan1097.49arctanarctan02.169.78sin1sin1A故电感电流和电容电压分别为)68.7897.49sin(02.1)(10tetitLAteteLAdtdiLtututtLLC97.49sin1.200sin)()(1022V7-5电路如图所示，t=0时开关S闭合，设0)0(Cu，0)0(i，L=1H，C=1F，U=100V。若：（1）电阻kR3；（2）电阻kR2；（3）200R。试分别求在上述电阻值时电路的电流I和电压Cu。解：t0后，电路的微分方程为UudtduRCdtudLCCC22由题意知，电路的初始条件为0)0()0(CCuu，00)0(dtduCiC因此，这是一个求二阶电路零状态响应的问题。设)(tuC的解答为CCCuuu'''式中Cu'为方程的特解，满足V100'UuCCu''为对应的齐次方程的通解，其函数形式与特征根的值有关。根据特征方程012RCpLCp可得LCLRLRp1)2(22（1）当3000R时，有36210)118.15.1(1011)123000(123000p即03.261897.38121pp特征根为两个不相等的实数，电路处于非震荡放电过程，Cu''的形式为ttCeAeAu03.2618297.3811''根据初始条件，可得0)03.261897.381(dd)0(0100)0('')0(')0(21021AACtuCiAAuuuCCCC解得17,11721AA所以电容电压mA17117100)(03.261897.381ttCeetu（2）当2R时，有10001011)12102(121026233p即100021pp电路处于临界阻尼情况。Cu''的形式为tCetAAu100021)(''根据初始条件可得0100)0(1AuC即1001A01000dd)0(120AACtuCiCC即5210A所以电容电压V)10100(''')(10005tCCCetuutu电流i为A100dd)(310tCtetuCti（3）当200R时，有995j1001011)12200(1220062p即995j1001p995j1002p为两个共轭复根，可知电路处于震荡放电过程，即欠阻尼情况。Cu''的形式为0sin100)0(''AuC0cossin)0(CAAi解得26.84100995arctanarctan5.10026.84sin100sin100A故电容电压为)26.84995sin(5.100100''')(100teuututCCC电流i为Asin1.0sindd)(10022teteCAtuCtittC7-6图示电路中mH6,3LR，F1C，V120U，电路已处稳态。设开关S在t=0时打开，试求)(tuL。解：由题意可知电路的初始条件为0)0()0(CCuuA4312dd)0()0(00RUtuCiiCLLt0后，电路方程为022ddddUutuRCtuLCCCC设电容电压的解答为CCCuuu'''方程的特征根为321091.12j2501)2(2LCLRLRp即311091.12j250p，321091.12j250p为两个共轭复根，所以电路的响应为衰减震荡，即欠阻尼情况。对应齐次方程的通解为)sin(''tAeutC，式中3109.12,250。根据初始条件，可得4cossindd)0(0sin12)0('')0(')0(0AACtuCiAuuuCCCC解得84.309)22.2sin(12sin1222.2)039.0arctan(124arctanAC所以电容电压V)22.21091.12sin(84.30912)(3250tetutC电流A)1091.12sin(4sindd)(325022teteCAtuCtittC电感电压V)22.21091.12sin(84.309)sin(4dd)(325022teteLtiLtuttL7-7图示电路在开关S打开之前已达稳态；t=0时，开关S打开，求t0时的Cu。解：由图可知，t0时A55550)0(LiV255)0()0(LCiu因此，电路的初始值为V25)0()0(CCuuA5)0()0(LLiit0后电路的方程为0dd)(dd2122CCCutuCRRtuLC其特征根为19.139j251)2()2(22121LCLRRLRRp即19.139j251p，19.139j252p特征根为两个共轭复根，所以电路处于衰减震荡过程。电容电压为)sin()(tAetutC式中19.193,25。根据初始条件，可得25sin)0(AuC5cossindd)0(0AACtuCiCL从中解得03.4)07.0arctan(51arctanC61.35503.4sin25sin25A故电容电压为V)03.419.139sin(61.355)(25tetutC7-8图示电路在开关S动作前已达稳态；t=0时S由1接至2，求t0时的Li。解：由图可知，t0时V4)0(