第七章全同粒子

第第七七章章全全同同粒粒子子本章介绍：本章首先介绍全同粒子的特性，然后介绍了全同粒子体系的波函数及泡利不相容原理。§7.1全同粒子的特性§7.2全同粒子体系的波函数全同粒子的定义：我们称质量、电荷、自旋、同位旋即其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。例如：所有电子是全同粒子。全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化。在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。而在量子力学中由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。从全同性原理出发，可以推知，由全同粒子组成的体系具有以下性质：全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。讨论一个由N个全同粒子组成的体系，第i个粒子的全部变量用iq表示，体系的哈密顿算符是1ˆ(,,,,)ijNHqqqqt，由于全同粒子的不可区分性，将粒子i和j互换，体系的哈密顿算符不变11(,,,,)(,,,,)ijNjiNHqqqqtHqqqqt交换算符ˆijP引入交换算符ˆijP，表示将第i个粒子和第j个粒子相互交换的运算：11ˆ(,,,,)(,,,,)ijijNjiNPqqqqtqqqqt是任意波函数，由ˆH的交换不变性有：1111ˆ(,,,,)(,,,,)ˆ(,,,,)(,,,,)ijijNijNjiNijjiNPHqqqqtqqqqtHqqqqtPqqqqt即ˆˆ[,]0ijPH另外，将交换算符作用到薛定谔方程上，得ˆˆˆˆˆijijijPiPHHPt表明：若是薛定谔方程的解，则ˆijP也是薛定谔方程的解。于是有ˆijP利用22ˆijP得21,1即ˆˆ,ijijPP由上两式可见，全同粒子组成的体系的状态只能用交换对称或交换反对称的波函数描述。全同粒子体系波函数的对称性不随时间变化。若0t时刻波函数(0)是对称波函数(0)s，则由于ˆH的交换对称性，因此ˆsH对称，则由薛定谔方程可见，/t也对称。将()t按t展开到一级，0()(0)sttdtt由于右端两项都是对称波函数，则()t也是对称波函数。玻色子和费米子1.实验表明，由电子、质子、中子等自旋为/2的粒子以及其他自旋为/2的奇数倍的粒子组成全同系，它的波函数是反对称的。这些自旋为/2奇数倍的粒子称为费米子。在量子统计中，由费米子组成的体系服从费米——狄拉克统计。2.实验表明，由光子、介子、胶子等自旋为/2的偶数倍的粒子组成全同系，它的波函数是对称的。这些自旋为/2偶数倍的粒子称为玻色子。在量子统计中，由费米子组成的体系服从玻色——爱因斯坦统计。§§77..22全全同同粒粒子子体体系系的的波波函函数数这一节我们先讨论由两个全同粒子组成的体系。在不考虑粒子间相互作用条件下，两粒子体系的哈密顿算符为0102ˆˆˆ()()HHqHq，0ˆH是每个粒子的哈密顿算符因为是全同粒子，所以两粒子的哈密顿算符相同。ˆH的本征方程为01110222ˆ()()()ˆ()()()iiiiHqqEqHqqEq当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态，体系的能量是ijEEE体系的波函数是1212(,)()()ijqqqq满足1212ˆ(,)()()ijHqqEqq若两粒子交换，则能量表达式不变，但波函数表达式变为2121(,)()()ijqqqq这说明12(,)qq和21(,)qq对应相同的能量本征值，体系存在交换简并。当ij时，两波函数即不是对称波函数，也不是反对成波函数。这种波函数是不能描述全同粒子体系的。要描述全同系，必须将波函数做对称化或反对称化，于是有1.当ij时1221(,)(,)qqqq波函数是对称波函数。2.当ij时1221122111[(,)(,)][()()()()]22sijijqqqqqqqq是对称波函数1221122111[(,)(,)][()()()()]22Aijijqqqqqqqq是反对称波函数。由上式可知，若ij，即两粒子处于同一状态时0A上述结果可以推广到N个全同粒子组成的体系。若粒子间的相互作用可以忽略，体系的哈密顿算符为01000ˆˆˆˆ()()()NNiiHHqHqHq各粒子的薛定谔方程为01110111()()()()()()iiijjjHqqEqHqqEq体系的薛定谔方程为11ˆ(,)(,)NNHqqEqq体系的能级和波函数为1112(,)()()()NiiNijkNEEqqqqq对于由N个全同玻色子组成的体系，波函数是对称的。对称化后的波函数为：12()()()SijkNpCpqqq式中p表示N个粒子在波函数中的某一种排列，C是归一化常数。显然!!iicnN，in是处在第i个单粒子态i中的粒子数。因此12!()()()!iiSijkNpnpqqqN对于由N个全同费米子组成的体系，波函数是反对称的。需将其反对称化。为此，我们先将二粒子体系的反对称波函数式写成行列式1212()()1()()2iiAjjqqqq在将其推广到N粒子体系，121212()()()()()()1!()()()iiiNjjjNAkkkNqqqqqqNqqq上式称为斯莱特行列式，因为任何两粒子的交换相当于行列式中两列之间的交换，行列式必然反号。因此，斯莱特行列式是反对称的。特别重要的是：如果两个或两个以上粒子的状态相同，则由于行列式中有两行以上相同，这个行列式必为零。这表示不能有两个或两个以上的全同费米子处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理。另外，如果粒子间存在相互作用，我们虽然不能把体系波函数写成单粒子波函数形式或进行对称化或反对称化，但这并不等于不可以对称化或反对称化。事实上，总可以找出1(,)Nqq，然后互换波函数中的粒子坐标来进行对称化或反对称化。当然，如果粒子只定域在空间的某一区域，描写粒子的波函数在空间是分开的不重叠。全同粒子的不可区分性就不重要了。自旋的影响在忽略粒子自旋和轨道相互作用的情况下，体系的波函数可以写成坐标的函数和自旋函数的乘积。取()qrs，r表示粒子的坐标，s表示粒子的自旋，有11221212(,,)(,,)(,,)NNNNrsrsrsrrrsss如果粒子是费米子，波函数对称，于是有两种情况对称，反对称；反对称，对称。如果粒子是玻色子，波函数反对称，也有两种情况对称，也对称；反对称，也反对称。在前面的讨论中，实际上引入了一个不是很完美的假设：粒子仍然可以编号，仍然可以分为第一个、第二个、…….第N个，然后再考虑粒子之间的交换，要求它们具有交换对称性。严格的说，这种做法并不彻底，原因在于：既然粒子是全同的，他们之间不可区分，就根本谈不上将粒子编号。更谈不上将第几个和第几个交换。粒子既然不能编号，就不能说第几个粒子处于那个量子态。二只能说某个量子态有几个粒子，或者说，有几个粒子占据了那个量子态。还要强调指出，全同性原理只是说全同粒子不可区分，不可编号，但它没说量子态不可区分。量子态可以通过守恒量对应的量子数来表示，不同的量子数表征不同的量子态。