第七章反常积分

第七章反常积分主要内容一、两类反常积分1、设函数)(xf在区间,a(或b,,(-∞,+∞))有定义，符号adxxf（或bdxxf,)())(dxxf称为函数)(xf的无穷积分.设apRp,，函数在[a,p]可积，若极限plimpadxxf)(存在(不存在),称无穷积分adxxf收敛(发散),其极限称为无穷积分adxxf(的值)，即adxxf=plimpadxxf)(2、定义设函数)(xf在区间ba,（ba,或bcca,,）有定义，b（a或c）是函数)(xf的瑕点.符号badxxf)(称为函数)(xf的瑕积分.设b是函数)(xf的瑕点,ab0:,函数)(xf在区间ba,可积.若badxxf)(lim0存在(不存在),则称瑕积分badxxf)(收敛（发散）,其极限称为瑕积分badxxf)((的值),即badxxf)(=badxxf)(lim0.二、无穷积分的性质1、无穷积分adxxf)(收敛对任意数列{nA},,Nn有),,[aAn而aA1,nnAlim，级数11)(kAAkkdxxf收敛于同一数，且adxxf)(=11)(kAAkkdxxf.2、柯西收敛准则无穷积分adxxf)(收敛,,,021ApApaA与有21()ppfxdx.3、若无穷积分adxxf)(收敛,则无穷积分adxxcf)(也收敛,其中c是常数,且adxxcf)(=adxxfc)(.4、若无穷积分adxxf)(与adxxg)(都收敛,则无穷积分adxxgxf)()(也收敛,且adxxgxf)()(=adxxf)(adxxg)(.5、无穷积分adxxf)(收敛ab,无穷积分bdxxf)(收敛.6、分部积分公式若函数)(xf与)(xg在区间,a存在连续导数,xlim)(xf)(xg存在,且无穷积分adxxgxf)()(收敛,则无穷积分adxxgxf)()(也收敛,有adxxgxf)()(=xlim)(xf)(xg-)(af)(ag-adxxgxf)()(.7、换元积分公式若函数)(xf在区间,a连续,无穷积分adxxf)(收敛,且函数)(tx在区间,严格增加,存在连续导数,而)0(,)(a,则adxxf)(=adtttf)()(8、若无穷积分()afxdx收敛，则称无穷积分()afxdx绝对收敛.9、若无穷积分()afxdx收敛，而()afxdx发散，则称无穷积分()afxdx条件收敛.三、无穷积分敛散性判别法1、比较判别法,ax，有cxcxf),()(是正常数，（1）若无穷积分adxx)(收敛,则无穷积分adxxf)(也收敛；（2）若无穷积分()afxdx发散,则无穷积分()axdx发散.2、比较判别法的极限形式设,ax，函数0,0)(axf，且xlim)0(,)(ccxfx，（1）若c0,1，则无穷积分adxxf)(收敛；（2）若c0,1，则无穷积分adxxf)(发散.3、若无穷积分adxxf)(绝对收敛，则无穷积分adxxf)(必收敛.4、若函数f(x)在),[a连续（a0），且函数F(x)=()xafudu在),[a有界，即xC,0),[a，有()()xaFxfuduC，则当0时，无穷积分()afxdxx收敛.5、狄利克雷判别法若F(u)=()uafxdx在),[a上有界，()gx在),[a上当x时单调减少且趋于0，则()()afxgxdx收敛.6、阿贝尔判别法若adxxf)(收敛，()gx在),[a上单调有界，则()()afxgxdx收敛.四、瑕积分的性质与敛散性判别法1、瑕积分badxxf)(收敛(a是瑕点))(0,0ab,21)(),,(),(21xxdxxfaaxaax有与.2、若瑕积分dxxfba)(收敛,(a是瑕点),则瑕积分badxxf)(收敛.也称瑕积分badxxf)(绝对收敛.3、比较判别法设.),()(],,(是正常数有cxcxfbax1)若瑕积分badxx)(收敛(a是瑕点),则瑕积分badxxf)(也收敛.2)若瑕积分dxxfba)(发散(a是瑕点),则瑕积分badxx)(也发散.4、比较判别法的极限形式设],(bax,函数f(x)0,a是瑕点,且极限)0()()(limccxfaxax1)若,0,1c则瑕积分badxxf)(收敛.2)若,0,1c则瑕积分badxxf)(发散.5、若函数)(xf在区间ba,连续(a是瑕点),且bxdttfxF)()(在区间ba,有界,即baxC,,0,有CdxxfxBX)()F(,则当0时,瑕积分badxxfax)()(收敛.五、反常积分的计算由于反常积分都是通过变限定积分的极限来定义的，所以依然可以利用牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法来计算反常积分法，此外，还可以根据具体情况灵活地运用其它一些方法，如：待定系数法、方程法、级数法等.六、欧拉积分1、欧拉积分包括两种类型：（1）函数：10(),0xxedx（2）B函数：1110(,)(1),0,0pqBpqxxdxpq2、函数具有以下性质：（1）(1)(),0,特别地，(1)!nn（2）1()23、B函数具有以下性质：（1）(,)(,)BpqBqp（2）()()(,),0,0()pqBpqpqpq二解题方法1、考点1判断反常积分的敛散性解题方法（1）比较判别法（eg1）（2）柯西准则（eg2）（3）狄利克雷和阿贝尔判别法（eg3）2、考点2计算反常积分解题方法（1）利用递推公式（eg4）（2）分部积分法（eg5\6）（3）幂级数（eg7）3、考点3瑕积分的敛散性（eg8）4、考点4欧拉积分（eg9）