第七章线性变换(小结)

1第七章线性变换(小结)本章的重点:线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法.本章的难点:不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.一、线性变换及其运算1.基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂及多项式.2.基本结论(1)线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变;线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2)线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3)线性变换的基本运算规律(略).(4)一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5)线性空间V的线性变换A的象Im(A)=AV与核kerA=A-1(0)(a)A的象Im(A)=AV与核kerA=A-1(0)是V的(A-)子空间.(b)若dim(V)=n,则Im(A)由V的一组基的象生成:即设V的一组基n,...,,21,Im(A)=AV=L(A1,A2,…,An)={A|V}.kerA=A-1(0)={V|A=0}.(c)A的秩(dimIm(A))+A的零度(dimkerA)=n.2(d)A是双射A是单射Ker(A)={0}A是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V的一组基:取ImA的一组基r,,21,存在,,...,21r使得Aii,i=1,2,…,r.再取kerA的基,,...1nr则,,...,21r,,...1nr就是V的一组基.二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设AL(V),取定n维线性空间V的一组基n,...,,21,则A1,A2,…,An可由1,2,…,n线性表示,即(A1,A2,…,An)=(n,...,,21)A,矩阵A称为线性变换A在此基下的矩阵.(2)一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n,...,,21,n,...,,21是线性空间V的两组基,(n,...,,21)=(n,...,,21)P,(A1,A2,…,An)=(n,...,,21)A,则(A1,A2,…,An)=(n,...,,21)APP1.2.基本结论(1)若n,,,21是线性空间V的一个基,Vn,,,21,则存在唯一A)(VL,使得Aniii,,2,1,)(.(2)在取定n维线性空间V的一个基之后,将V的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。(3)同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它3们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.(4)若在线性空间V的一个基n,,,21下,线性变换A对应的矩阵为A,向量的坐标为),,,(21nxxx,则A的秩=秩(A),A()的坐标nnxxxAyyy2121.三、特征值与特征向量1.基本概念(1)特征多项式设线性变换A在V的一组基n,,,21下的矩阵为A,则||)1()(||)(12211AaaaAEfnnnnn称为A的特征多项式.(的根就是A的全部特征根).设1,2,…,n是f()的全部根,则)(fnnnnnn2112121)1()()())((.由大多项式相等,得Tr(A)=nnnaaa212211,nA21||.(2)线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量:若A=,0,则称为A的特征根(特征值),称为A的属于特征值的特征向量.(3)化零多项式设g()是一个多项式,使得g(A)=0(g(A)=0),则g()称为A(A)的化零多项式.(4)最小多项式---化零多项式中次数最低者.(5)特征子空间---A的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合:|{0VVA}.42.基本结论:(1)线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略)(2)属于不同特征值的特征向量是线性无关的.(3)相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,反之不然.(4)CayleyHamilton定理:设线性变换A在某个基下的矩阵为A,||)(AEf,则0)(Af,f(A)=0.四、对角化问题1.基本概念:(1)不变子空间---设W是V的子空间,AL(V),若AWW,则称W是A的不变子空间,简称为A–子空间.(2)Jordan标准形---设AL(V),则必存在V的一组基,使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形.2.基本结论:设A是数域P上n维向量空间V的一个线性变换,则(1)A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵A有n个线性无关的特征向量.V可以分解为n个一维不变子空间的直和A的所有不同的特征子空间的维数之和等于nA的最小多项式没有重根V可以分解为特征子空间的直和.因而,当A有n个不同特征值时,A必在某个基下的矩阵是对角形式.(2)设A为n阶矩阵，则A必与一个Jordan标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个Jordan标准形是唯一的；而A与对角矩阵相似A的最小多项式无重根.于是，当A的特征多项式无重根时，A必与一个对角矩阵相似.第八章矩阵(小结)一、基本概念51.矩阵)(A---矩阵)(A的元素是的多项式.2.可逆的矩阵---)(A可逆的充要条件是|)(A|=c0(是一个非零常数).3.秩---)(A的秩为r,若)(A有一个r阶子式非零,任一个r+1阶子式均为零.4.矩阵的初等变换---jiijirrccrrr)(),0(,.(列变换类似)5.任一个矩阵都可以经过初等变换化为标准形00)()(1rdd,其中.1,...,2,1),(|)(1riddii6.矩阵)(A与)(B的等价当且仅当)(A经过初等变换变为)(B.7.)(A的k阶行列式因子---)(A的所有k阶子式的最大公因式.8.)(A的不变因子---把)(A经过初等变换化为标准形后，主对角线上次数大于零的多项式为)(A的不变因子.9.)(A的初等因子---把)(A的标准形的主对角线上次数大于零的多项式分解成一次因式的方幂,这些一次因式的方次就是)(A的全部初等因子.10.Jordan块---000011J.11.若尔当标准形---sJJJJ21，其中Ji均为Jordan块.612.伴侣阵---矩阵12110001000100aaaaBnnn称为多项式d()的伴侣阵,其中nnnnaaad111)(.13.矩阵A的有理标准形---把A的特征矩阵化为标准形)()(111sdd,则A的有理标准形为B=sBBB21,其中Bi为di()的伴侣阵,i=1,2,…,s.二、主要结论1.一个nn的矩阵)(A是可逆的充要条件为行列式|)(|A是一个非零的数.2.任意一个非零的ns的矩阵)(A都等价于其唯一的标准形矩阵：00)()()(21rddd,其中),,2,1)((,1ridri是首项系数为1的多项式，且7)1,,2,1()(|)(1riddii.3.两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.4.矩阵)(A是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.5.两个ns的矩阵)(A与)(B等价的充要条件为，有一个ss可逆矩阵)(P与一个nn可逆矩阵)(Q，使)()()()(QAPB.6.设A，B是数域P上两个nn矩阵.A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵AE和BE等价.7.两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8.首先用初等变换化特征矩阵AE为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.9.每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.10.设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.11.复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根).12.数域P上nn方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.13.设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.第八章主要结论:81.A与B相似AE与BE等价它们有相同的各阶行列式因子它们有相同的不变因子它们有相同的初等因子.2.A的每一个初等因子决定一个Jordan块,全体初等因子决定了A的Jordan标准形.3.矩阵A可以对角化它的Jordan块都是一阶的它的初等因子都是一次的它的最小多项式无重根.它的不变因子无重根.4.矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子.第七章和第八章主要掌握的计算1.求线性变换在某基下的矩阵.(1)n维向量空间;(2)n维多项式空间;(3)22矩阵空间.例1.设V=R3,(a,b,c)R3,求A在基),0,0,1(1e),0,1,0(2e)1,0,0(3e和),1,1,1(1),0,1,1(2)0,0,1(3下的矩阵,其中A(a,b,c)=),,2(acbaba.解:(Ae1,Ae2,Ae3)=(e1,e2,e3)101011012=(e1,e2,e3)A..001011111,),,(),,(321321PPeee9(A1,A2,A3)=(Ae1,Ae2,Ae3)P=(e1,e2,e3)AP=(1,2,3)P-1AP.例2.V=P[x]n-1,DL(V),D)(')(xfxf,求D在基1,x,…,xn-1下的矩阵.例3.22PV,AL(V),4521Q,对任意的XV,AX=QX,求A在基22211211,,,EEEE下的矩阵.解:由于AE11=0501=21115EE,AE12=5010=22125EE,AE21=0402=211142EE,AE22=4020=221242EE,所以A在基22211211,,,EEEE下的矩阵为4050040520100201A.2.判断一个变换是否