第七讲常微分方程与级数

第七讲常微分方程与级数实验目的：１．学习用matlab求解微分方程命令dsolve.２．学习matlab泰勒级数展开命令.３．巩固幂级数的收敛半径、和等概念.实验内容：１．学习matlab命令.matlab求解微分方程命令dsolve，调用格式为：dsolve(‘微分方程’)给出微分方程的解析解，表示为t的函数.dsolve(‘微分方程’，‘初始条件’)给出微分方程初值问题的解，表示为t的函数.dsolve(‘微分方程’，‘变量x’)给出微分方程的解析解，表示为x的函数.dsolve(‘微分方程’，‘初始条件’，‘变量x’)给出微分方程初值问题的解，表示为x的函数.求已知函数的taylor展开式taylor命令，调用格式为：taylor(函数f(x))f(x)的5次taylor多项式.taylor(函数f(x)，n)f(x)的n-1次taylor多项式.taylor(函数f(x)，a)f(x)在a点的taylor多项式.求级数的和命令symsum调用格式为：symsum(S,n)，求symsum(S,k,m,n),求matlab求极限命令limit调用格式为：limit(函数f(x)，变量x，自变量的趋向值)２．求解一阶微分方程.微分方程在输入时，应输入Dy，应输入D2y等，D应大写．例１：求微分方程的通解．解：输入命令：dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)')结果为ans=1/2*(1+2*exp(-2*x*t)*C1*exp(x^2))/exp(x^2)系统默认的自变量是t，显然系统把x当作常数，把y当作t的函数求解．输入命令：dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')得正确结果：ans=1/2*(x^2+2*C1)/exp(x^2)例２：求微分方程在初始条件下的特解．解：输入命令：dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')得结果为：ans=1/x*(exp(x)+exp(1))例３：求微分方程在初始条件下的特解．解：输入命令：dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0','y(0)=1','x')得结果为ans=1/(x^2-1)*(sin(x)-1)３．求解二阶微分方程．例４：求的通解．解：输入命令：dsolve('D2y+3*Dy+exp(x)=0','x')得结果：ans=-1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x)例５：求解微分方程．解：输入命令：dsolve('D2y-exp(2*y)*Dy=0','x')得结果：ans=1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)))+x*C1+C2*C1４．taylor展开式．例６：求函数y=cosx在x=0点处的5阶taylor展开式及在处的6阶taylor展开式．解：输入命令：symsx;taylor(cos(x))得结果：ans=1-1/2*x^2+1/24*x^4输入命令：taylor(cos(x),pi/3,7)得结果：ans=1/2-1/2*3^(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)^2+1/12*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^3+1/48*(x-1/3*pi)^4-1/240*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^5-1/1440*(x-1/3*pi)^6５．级数求和．例７：求．解：输入命令：symsn;symsum(1/2^n,1,inf)得结果：ans=1例８：求幂级数的和函数．解：输入命令：symsum(x^n/(n*2^n),n,1,inf)得结果ans=-log(1-1/2*x)例９：求幂级数的和函数．解：输入命令：symsum(n*x^n,n,1,inf)得结果：ans=x/(x-1)^2６．判别级数敛散性．例１０：判断数项级数的收敛性．解：输入求和命令：symsum(1/(n*(n+1)),n,1,inf)得结果：ans=1求和得是1，说明该级数收敛．例１１：判别级数的敛散性．解：输入命令：symsum(sin(pi/(n*(n+1))),1,inf)得结果：ans=sum(sin(pi/n/(n+1)),pi=1..inf)由执行结果看出仍含有sum，说明用matlab不能求出其和，可采用比较判别法，取比较级数为P级数,取二者通项比值的极限．输入命令：limit(sin(pi/(n*(n+1)))/(1/n^2),n,inf)得结果：ans=pi得值为pi,由所取P级数收敛，得知所要判别的级数也收敛．例１２：判别级数的敛散性．解：用比值判别法，输入命令：limit((n+1)*(3/4)^(n+1)/(n*(3/4)^n),n,inf)得结果：ans=3/4极限值小于1，由比值判别法知级数收敛．实际上输入求和命令：symsum(n*(3/4)^n,n,1,inf)得结果：ans=12练习：求1-6题微分方程的通解1．1222yyyx2．xyxydxdy3．xxxyycos4．1)2sincos(yyyx5．xeyyyx2cos36．xxyysin14求7、8题初值问题的解7．10)2(212222xydxdyxxyyyxyx8．0000222,02Vdtdxxxxadtdxndtxdtt9．给出函数xxexfxxcos2sin)(在点0x的7阶taylor展开式以及在x=1处的5阶taylor展开式．10．判别下列级数的敛散性，若收敛求其和．(1)7151311(2)112nnntg(3)1112)1(nnnn(4)2ln1)1(nnnn11．求幂级数22)1(nnnnnx的和函数．12．求函数项级数1)2sin)1(nnnnx的和函数．