第三单元三角函数解三角形

单元能力检测(三)[考查范围：第三单元三角函数、解三角形]时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan8π3的值为()A.33B．－33C.3D．－32．已知tanα＝2，则sin2α－sinαcosα的值是()A.25B．－25C．－2D．23．要得到函数y＝sin2x＋π3的图象，可将y＝sin2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向左平移π6个单位长度C．向右平移π3个单位长度D．向左平移π3个单位长度4．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，g(x)＝22sinxcosx，则下列结论正确的是()A．两个函数的图象均关于点－π4，0成中心对称B．两个函数的图象均关于直线x＝－π4对称C．两个函数在区间－π4，π4上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同5．a，b，c分别是△ABC内角A、B、C的对边，若c＝23b，sin2A－sin2B＝3sinBsinC，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°6．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，π2，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，－πφ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数8．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北方向航行，AB＝10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.1507minB.157hC．21.5minD．2.15h二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置)9．已知sinθ＝45，且sinθ－cosθ1，则sin2θ＝________.10．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝________.zxxk11．已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两个根，且α，β都为锐角，则α＋β的值为________．12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)，若函数f(x)图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为________．13．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω0，|φ|π2，y＝f(x)的部分图象如图D3－1，则fπ24＝________.图D3－1图D3－214．如图D3－2，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．16．(13分)函数f(x)＝Asinωx(A0，ω0)在一个周期内的图象如图D3－3所示，其最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P.在△MNP中，∠MNP＝30°，MP＝2.(1)判断△MNP的形状，并说明理由；(2)求函数f(x)的解析式．图D3－3[来源:Zxxk.Com]17．(13分)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]18．(14分)已知函数f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32，x∈R.(1)设角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点P12，－32，求f(α)的值；(2)试讨论函数f(x)的基本性质(直接写出结论)．19．(14分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：如图D3－4，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒，A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH(声音的传播速度为340米/秒)．图D3－420．(14分)如图D3－5所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2，x∈[4,8]的图象，图象的最高点为B5，833，DF⊥OC，垂足为F.zxxk(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？[来源:学科网ZXXK]图D3－5单元能力检测(三)1．D[解析]tan8π3＝tan2π＋2π3＝tan2π3＝tanπ－π3＝－tanπ3＝－3，故选D.2．A[解析]sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α－sinαcosα÷cos2αsin2α＋cos2α÷cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25，故选A.3．B[解析]由y＝sin2x＋π3＝sin2x＋π6，则可将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sin2x＋π3的图象，故选B.4．C[解析]f(x)＝2sinx＋π4，则函数周期为2π，对称中心为－π4＋kπ，0(k∈Z)，对称轴为x＝π4＋kπ(k∈Z)，递增区间为－3π4＋2kπ，π4＋2kπ(k∈Z)；g(x)＝2sin2x，则函数周期为π，对称中心为kπ2，0(k∈Z)，对称轴为x＝π4＋kπ2(k∈Z)，递增区间为－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)，排除A、B、D，故选C.5．A[解析]由正弦定理，有asinA＝bsinB＝csinC，又sin2A－sin2B＝3sinBsinC，则a2－b2＝3bc，即b2－a2＝－3bc，由余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3b＋c2b，又c＝23b，则cosA＝－3b＋23b2b＝32，又0Aπ，故A＝30°，故选A.6．D[解析]∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，∴lgac＝lgsinB＝lg22，即ac＝sinB＝22.∵B∈0，π2，∴B＝π4，由c＝2a，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝3a2－b222a2＝22.∴a2＝b2，∴a＝b，故选D.7．A[解析]∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z且－πφ≤π，∴当k＝0时，φ＝π3，f(x)＝2sin13x＋π3，要使f(x)递增，需有2kπ－π2≤13x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解之得6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z.当k＝0时，－52π≤x≤π2，∴f(x)在－52π，π2上递增．8．A[解析]如图：设t时甲行驶到D处，AD＝10－4t，乙行驶到C处，AC＝6t，∵∠BAC＝120°，DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28t－5142＋6757，当t＝514时，DC2最小，即DC最小，此时t＝514×60＝1507(min)，故选A.9.2425[解析]由sinθ－cosθ1，得cosθ0，则cosθ＝－1－sin2θ＝－35，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425.10.2[解析]由正弦定理asinA＝bsinB得asinB＝bsinA，所以asinAsinB＋bcos2A＝2a化为bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a，故选D.11.π4[解析]由题意得，tanα＋tanβ＝56，tanαtanβ＝16，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝561－16＝1.zxxk又α，β∈0，π2，所以0α＋βπ.故α＋β＝π4.12.32[解析]函数f(x)的周期为T＝2πω，由已知函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，得14T＝π3，即14×2πω＝π3，故ω的值为32.13.3[解析]函数f(x)的周期为T＝πω，由图象，得12T＝3π8－π8＝π4，则ω＝2.∴－π8，0是图象的一个对称中心，则图象可由函数y＝Atan2x的图象向左平移π8个单位得到，φ＝π4，即f(x)＝Atan2x＋π4，把点(0,1)代入，得1＝Atanπ4，即A＝1，∴fπ24＝tanπ12＋π4＝tanπ3＝3.14.2[解析]在△ABC中，由余弦定理，有cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝2322×2×23＝32，则∠ACB＝30°.[来源:学科网]在△ACD中，由正弦定理，有ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝AC·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD的长度等于2.15．[解答](1)f5π4＝2sin13×54π－π6＝2sinπ4＝2.(2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin13×3β＋2π－π6＝2sinβ＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35.又∵α，β∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－5132＝1213，sinβ＝1－cos2β＝1－352＝45，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝35×1213－513×45＝1665.16.[解答](1)由函数f(x)的图象的对称性知：MN＝2OM＝2MP，因为MP＝2，所以MN＝4，在△MNP中，MPsin∠MNP＝MNsin∠MPN，解得sin∠MPN＝1，所以∠MPN＝90°，△MPN为直角三角形．(2)由(1)知，∠NMP＝60°，又OM＝MP，所以△OMP为等边三角形．故M(1，3)，P(2,0)，所以A＝3，周期T＝2OP＝4，又|ω|＝2πT，ω0，所以ω＝π2，所以f(x)＝3sinπ2x.17．[解答](1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.18．[解答]解法一：(1)因为点P12，－32在角α的终边上，所以sinα＝－32，cosα＝12，f(α)＝3cos2α＋sinαcosα－32＝3×122－32×12－32＝－32.(2)f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32＝3×1＋cos2x2＋12sin2x－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3.函数f(x)的基本性质如下：zxxk①奇偶性：函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；②单调性：函数f(x)单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12，单调