第三套线性代数综合测试练习题

第三套线性代数综合测试练习题一、填空题(每小题4分，共24分)1、已知三阶行列式123456789D，ijA表示它的元素ija的代数余子式，则与212223aAbAcA对应的三阶行列式为。2、,AB均为n阶方阵，3AB，则112AB=。3、A300140003，则1(2)AE=。4、向量组123(1,2,3),(1,2,1),(2,0,5)线性关。5、设6阶方阵A的秩为5，,是非齐次线性方程组Axb的两个不相等的解，则Axb的通解为。6、已知111x为2125312Aab的特征向量，则;ab。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、1112132122232122231112131313233311132123313010,,100001aaaaaaAaaaBaaaPaaaaaaaaa，1010100012P，则。A．BPAP21B．BPAP12C．BAPP12D．BAPP218、n元齐次线性方程组0AX有非零解的充分必要条件是。A．()RAnB．()RAnC．()RAnD．()RAn9、已知mn矩阵A的秩为1n，12,是齐次线性方程组0AX的两个不同的解，k为任意常数，则方程组0AX的通解为。A．1kB．2kC．12()kD．12()k10、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是。A.秩(A)=秩(B)B.A=BC.BAD.A与B有相同的特征值11、若n阶方阵A的两个不同的特征值12,所对应的特征向量分别是1x和2x，则。A.1x和2x线性相关B.1x和2x线性无关C.1x和2x正交D.1x和2x的内积等于零12、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的条件。A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要三、计算题(每小题7分，共42分)13、设A与B均为3阶方阵，E为3阶单位矩阵，2ABEAB，且201020101A；求B。14、k满足什么条件时，方程组022232212321321xkxxkkxxxkxxx有唯一解，无解，有无穷多解？15、向量组1234(1,3,2,0),(7,0,14,3),(2,1,0,1),(5,1,6,2),TTTT5(2,1,4,1)T，（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。16、设矩阵010010000010012Ay的一个特征值为3，求y。17、计算矩阵110430102的特征值与特征向量。18、当t为何值时，32312123222132142244),,(xxxxxtxxxxxxxf为正定二次型？四、证明题(每小题5分，共10分)19、设向量b能由321,,这三个向量线性表示且表达式唯一,证明：向量组321,,线性无关。20、设321,,是n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明不是A的特征向量。第三套线性代数测试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、已知三阶行列式123456789D，ijA表示它的元素ija的代数余子式，则与212223aAbAcA对应的三阶行列式为123789abc。由行列式按行按列展开定理可得。2、,AB均为n阶方阵，3AB，则112AB=1()2n。由于：1111111()()()2222nnnABABAB。3、A300140003，则1(2)AE=10012120001。由于11300100100100140201012012120003001001001。4、向量组123(1,2,3),(1,2,1),(2,0,5)线性无关。因为：1121121122200040410315041004。5、设6阶方阵A的秩为5，,是非齐次线性方程组Axb的两个不相等的解，则Axb的通解为Xk。由于()5RA，所以0Ax的基础解系只含一个向量：，故有上通解。6、已知111x为2125312Aab的特征向量，则3;0ab。2121111531123121110Axxaaabbb。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、1112132122232122231112131313233311132123313010,,100001aaaaaaAaaaBaaaPaaaaaaaaa，1010100012P，则D。A．BPAP21B．BPAP12C．BAPP12D．BAPP21对A作行变换，先作2P，将第一行加到第三行上，再作1P，交换一二行。8、n元齐次线性方程组0AX有非零解的充分必要条件是B。A．()RAnB．()RAnC．()RAnD．()RAn齐次线性方程组0AX有非零解的定理。9、已知mn矩阵A的秩为1n，12,是齐次线性方程组0AX的两个不同的解，k为任意常数，则方程组0AX的通解为D。A．1kB．2kC．12()kD．12()k基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D可保证不等于零。10、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是B。A.秩(A)=秩(B)B.A=BC.BAD.A与B有相同的特征值相似不是相等。11、若n阶方阵A的两个不同的特征值12,所对应的特征向量分别是1x和2x，则B。A.1x和2x线性相关B.1x和2x线性无关C.1x和2x正交D.1x和2x的内积等于零特征值，特征向量的定理保证。12、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的C条件。A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42分)13、设A与B均为3阶方阵，E为3阶单位矩阵，2ABEAB，且201020101A；求B。解：因为AB+E=A2+B))(()(EAEABEA001010101110101201012EA，,1EAEA可逆所以EAB201030103。14、k满足什么条件时，方程组022232212321321xkxxkkxxxkxxx有唯一解，无解，有无穷多解？解：kkkkkkkkkkkkkkkkkk)3()3)(2(00210211~2410210211~0122121122222当2k且3k时，方程组有惟一解。当2k时方程组无解。当0)3(kk时方程组),()(BrAr当0k时020002100211~001200210211这时方程组只有零解。当3k时，000065103211~651065103211~091293213211这时方程组有无穷多解。15、向量组1234(1,3,2,0),(7,0,14,3),(2,1,0,1),(5,1,6,2),TTTT5(2,1,4,1)T，（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解：12345(,,,,)3R，123,,为一个极大无关组，41232133，51231103316、设矩阵010010000010012Ay的一个特征值为3，求y。解：31001300|3|8(202.00310011AEyyy），17、计算矩阵110430102的特征值与特征向量。解：2110||430(2)(1)(3)4(2)(1)102AE，所以得：特征值121，解方程组0AEX，只得一个对应特征向量为：1,2,1T；32，解方程组20AEX，可得特征向量为0,0,1T。18、当t为何值时，32312123222132142244),,(xxxxxtxxxxxxxf为正定二次型？解：21114210;40;4124ttfttt222111142042123(2)2(2)(1)0124023tttttttttt解不等式：240(2)(1)021tttt。四、证明题(每小题5分，共10分)19、设向量b能由321,,这三个向量线性表示且表达式唯一,证明：向量组321,,线性无关。证明：（反证法）如果321,,aaa线性相关，则有一组不全为0的系数321,,使332211aaa=（1），由已知设332211b，结合（1）式得333222111)()()(0aaabb（2）由于321,,不完全为零，则11，22，33必与321,,不同，这样b已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。20、设321,,是n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明不是A的特征向量。证明：假设123123112233AAAAAA，又：123112233A从而：1122330，由于特征值各不相等，所以321,,线性无关，所以的1231230，矛盾。