电容器的研究

创新实验研究报告电容器研究摘要电容器是一种静态电荷存储介质，应用于各种电子器件，广泛应用于电源滤波、信号滤波、信号耦合、谐振、隔直流等电路中。电容器的电容值受到很多因素影响，如极板之间的距离，极板之间的介质，极板的正对面积，测量的频率以及电容器的形状等。而我们主要研究的是由两篇铜箔缠在PVC圆管或方形管上（两篇铜箔之间有细缝）的这类特殊电容器的电容值计算以及各种因素对电容值的影响。实验中我们制作了实际的电容模型，在1kHz下对其电容值进行了测量，得到比较合理的数据，并用软件对数据进行拟合。在理论推导上，采用3种不同的测量方法求解一.物理方法：将其看作是变形的平行板电容器，利用微元法求解；二.电磁场方法：将模型看作是静态场边值型问题，利用拉普拉斯方程求解；三.仿真软件模拟方法：利用电磁仿真软件ＨＦＳＳ，绘制模型，加予激励，求其阻抗的虚部，得出仿真结果。根据对这三种方法结果的比较和讨论，最后得出适合计算这类特殊电容的模型。但为了使使用的计算方法更为简单，在计算中，我们对模型进行了很多理想的简化，有时甚至忽略了一些关键因素，导致三种方法得出的结果存在偏差与矛盾，所以要得到更贴合实际的模型，还有待更进一步的深入研究。关键词：电容器，电磁场，静电场方程，边界条件，HFSS仿真。目录1．数据表格(4号楷体字).............................................................................................................22．1原理.........................................................................................................................................23．电磁场方程计算........................................................................................................................43．1矩形管.....................................................................................................................................43.2柱形管...................................................................................................................................114．HFSS仿真.................................................................................................................................134．1HFSS软件简介.....................................................................................................................134．2HFSS仿真.............................................................................................................................135．结论..........................................................................................................................................156.研究中不成熟的地方以及今后的研究方向：.........................................................................166.1成熟的地方...........................................................................................................................166.2后的研究方向.......................................................................................................................167．致谢、心得、体会..................................................................................................................168．参考文献..................................................................................................................................179．附录..........................................................................................................................................171．数据表格根据制作的模型进行测量，得出如下数据表格注：测量频率均为1000Hz表一电容值-高度（半径为2cm，缝宽为2.5mm）高度15.120.325.4电容值（pF）10.814.117.8表二电容值-缝宽（高度为15cm，缝宽为2.5mm）半径（cm）1.522.5电容值（pF）10.110.813.0表三电容值-半径（高度为15cm，半径为2cm）缝宽（cm）0．5122.5电容值（pF）19.817.114.310.82．物理方法2．1原理将实际模型看成是平行板电容器的变形，主要采用微元法，将电容器的两片按高度方向分成极小的长方形，长为电容器的高，宽为所选微元，该微元与它正对面的另一片上的微元构成一对“平行板”，但每对微元之间的夹角不同，具体解法如下：电容横截面图电容模型横截面图电容整体示意图设电容的高度为H，横截面半径为rC=∫1dC（1）=∫ε/ydS（2）其中y是两对应微元之间的距离，即y=2rsinφ（3）S是两对应微元的正对面积即S=H×rdφ×sinφ（4）所以C=∫εHrsinφdφ2rsinφdφ（5）=2∫εH2π2θdφ（6）=εH×(π2−θ)（7）其中，的大小与缝宽有关，θ=sin−1d2rφdyrdφ注：d为缝宽，但可知d与2r相比很小很小，约为1:500，所以其影响很小，故可以说明电容器容量的大小与半径无关。2．2计算公式与实际测量的偏差例如计算高度为15cm，半径为2cm，缝宽为1mm的电容值为：8.850.15×𝜋2⁄=2.08pF，与测量结果17.1存在较大误差，原因是电容值大小受缝宽，介质和测量的频率影响。2．3计算公式与实际测量的偏差若考虑中间较薄的PVC介质，则设电容器模型外径为R，内径为r由上述认为介质只有空气的情况得出:C0=ε0Hπ2q0=C0U0=ε0Hπ2U0E0=q0ε0S∆V=E0[2Rsinφ−2(R−r)sinφ/εr]C=q0∆V=q0q0ε0S[2Rsinφ−2(R−r)sinφ/εr]=ε0εrS2rsinφεr+2(R−r)sinφ=∫ε0εrHrsinφdφ2rsinφεr+2(R−r)sinφπ2θ=ε0εrHr2rεr+2(R−r)(π2−θ)其中，θ的大小与缝宽有关，θ=sin−1d2r通过在网上查资料，得知PVC管的主要成分是聚氯乙烯，而聚氯乙烯的介电常数为2.4-2.6，取2.5，可计算出高度为15cm，外径为2cm，内径为1.9cm，缝宽为1mm的电容值为：8.85×0.15×π2⁄×2.5×1.92×1.9×2.5+2×0.1=1.02pF2.08pF，所以可知，考虑介质使计算得出的电容值略有减小。3．电磁场方程计算3．1矩形管矩形空管的相对的两面贴有铜膜，侧面铜膜之间隔开，即存在缝隙，如图：Y简化后模型:一、模型假设：上下两铜膜的距离和管长对静电场分布的影响先不考虑管子材料的厚度对电容值的影响忽略，以及铜膜内的介质全部设为空气，不考虑PVC管子的介电常数。二、模型建立：以上下板的对称轴为x轴，垂直x轴的方向为y轴，坐标原点选取左下角。矩形区域的截面为a×b，下板电势设为+U0，上板电势设为。根据《电磁场与电磁波》中静电场边值问题理论，矩形内部的电位函数满足𝜕2𝜑𝜕𝑥2+𝜕2𝜑𝜕𝑦2=0简化模型aAbXY0𝑈02⁄000Laplace方程。{∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0,(0𝑏𝑥,0𝑦𝑎)φ(x,a)=U02⁄,φ(x,0)=0,φ(0,y)=0,φ(x,a)=0,三、模型求解：首先，与管长无关，从给定边界条件看，电位沿x方向出现重复零点（x=0、b处，φ=0）,故沿x坐标呈三角函数分布，而y则选用指数函数。故φ=∑(C1eky+C2e−ky)∙(C3coskx+C4sinkx)现利用给定边界条件确定常数C1、C2、C3、C4、k。y=0,0𝑥𝑏时，φ=0；得C1=−C2;y=a,0𝑥𝑏时，φ=U02⁄；得C3C1(eka+e−ka)sinkx=U02⁄;将U02⁄按sinkx正交函数系展开成Fourier级数，可得其系数为U0(1−(−1)n)nπ⁄x=0,0𝑦𝑎时，φ=0;得C3=0;x=b,0𝑦𝑎时，φ=0;得k=nπb⁄，(n=1,2⋯)；故管内电位分布为φ=∑U0(1−(−1)n)nπ(enπba−e−nπba)(enπby−e−nπby)Sinnπbx∞n=1对求边界面上的法线方向上的方向导数，即可求得电位移矢量D=E，又D=(铜膜面电荷密度)，故Q=∫σdS。然后由C=QU0求得电容。(1)∂φ∂x=∑U0(1−(−1)n)b(enπba−e−nπba)(enπby−e−nπby)∙coskx∞n=1Q1=∫∂φ∂xHεdya0，其中H为管子长度Q1(侧面的电荷总量)为∑2εHU0(1−(−1)n)nπ(enπba−e−nπba)(enπba+e−nπba−2)∞n=1利用Mathematica求近似解，将正无穷近似取为10,100,1000，分别得结果(2)∂φ∂x=∑U0(1−(−1)n)b(enπba−e−nπba)(enπby−e−nπby)∙coskx∞n=1Q1=∫∂φ∂xHεdya0，其中H为管子长度Q1(右边侧面的电荷总量)为∑2εHU0(1−(−1)n)nπ(enπba−e−nπba)(enπba+e−nπba−2)∞n=1(−1)n(3)∂φ∂y=∑U0(1−(−1)n)b(enπba−e−nπba)(enπby+e−nπby)∙sinkx∞n=1Q2=∫∂φ∂yεHdxb0Q2(底面的电荷总量)为∑2εHU0(1−(−1)n)2nπ(enπba−e−nπba)(enπba+e−nπba)∞n=1随着n求和的项数越来越大，总电荷𝑄=𝑄1+𝑄2逐渐增加，可见电荷量的级数公式不收敛。当n取1000项时，Q近似为20.8159HU03.2柱形