第三章331二元一次不等式(组)与平面区域

§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域课时目标1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.y≥－23x－2y＋60x0B.y≥－23x－2y＋6≥0x≤0C.y－23x－2y＋60x≤0D.y－23x－2y＋60x0答案C解析可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是()A．(－1,6)B．(－6,1)C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)答案A解析由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)0，即(a＋1)(a－6)0，∴－1a6.3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)0的点(x，y)所在的区域为()答案B解析不等式(x－y)(x＋2y－2)0等价于不等式组(Ⅰ)x－y0，x＋2y－20或不等式组(Ⅱ)x－y0，x＋2y－20.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.4．不等式组4x＋3y≤12，x－y－1，y≥0表示的平面区域内整点的个数是()A．2个B．4个C．6个D．8个答案C解析画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．5．在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≥0，x－y＋4≥0，x≤a(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为()A．32＋2B．－32＋2C．－5D．1答案D解析区域如图，易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)．S△ABC＝12|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.6．若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34答案A解析不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M12，52.当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.二、填空题7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．答案x＋2y－1≥0x－y＋2≥02x＋y－5≤0解析如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．直线AC的方程为2x＋y－5＝0，直线BC的方程为x－y＋2＝0，把(0,0)代入2x＋y－5＝－50，∴AC左下方的区域为2x＋y－50.∴同理可得△ABC区域(含边界)为x＋2y－1≥0x－y＋2≥02x＋y－5≤0.8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．答案6解析由题意点(x，y)的坐标应满足x∈Ny∈Nx＋y≤2，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．答案－1a≤0解析根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则a0a＋1≤0.无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则a≤0a＋10，∴－1a≤0.综上所述，－1a≤0.10．若A为不等式组x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．答案74解析如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．又D(0,1)，B(0,2)，E－12，32，C(－2,0)．S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－14＝74.三、解答题11．利用平面区域求不等式组x≥3y≥26x＋7y≤50的整数解．解先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤327，又∵y≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤267，∴整点有：(4,2)(4,3)．把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤207，∴整点有：(5,2)；把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤87，与y≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组kx－y＋1≥0kx－my≤0y≥0表示的平面区域的面积是多少？解P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－k2，－m2)，∴m＝－k＝－1，∴不等式组为x－y＋1≥0x＋y≤0y≥0，它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－12，12)，∴S△＝12×1×12＝14.故面积为14.能力提升13．设不等式组x＋y－11≥0，3x－y＋3≥0，5x－3y＋9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A．(1,3]B．[2,3]C．(1,2]D．[3，＋∞)答案A解析作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．由x＋y－11＝0，3x－y＋3＝0，得交点A(2,9)．对y＝ax的图象，当0a1时，没有点在区域D上．当a1，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.要满足题意，需满足a2≤9，解得1a≤3.14．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．答案0a≤1或a≥43解析不等式表示的平面区域如图所示，当x＋y＝a过A23，23时表示的区域是△AOB，此时a＝43；当a43时，表示区域是△AOB；当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；当0a1时可表示三角形；当a0时不表示任何区域，当1a43时，区域是四边形．故当0a≤1或a≥43时表示的平面区域为三角形．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数．