第三章中国古代数学

第三章中国古代数学教学重点：1理解并掌握《九章算术》的主要贡献。2能叙述《算经十书》的名称；掌握祖冲之的贡献，知道密率及约率值。3掌握宋元数学家的贡献。3.1《九章算术》1介绍中国古典数学最重要的著作，成书1cenB.C《九章算术》：问题集，共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功；均输，盈不足，方程，勾股。面积、体积：方田，商功；比例：粟米，衰分，均输；开方：少广贡献一：正负数加减法则正负数的加减运算法则李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。贡献二：方程术线性方程组求解：消元法例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？贡献三：开方术今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。“开方术”演变为”增乘开方法“，开高次方，求高次方程数值解；“开方术”：包含求方法；接受开方不尽的数——无理数；02cbxax贡献四：盈不足例：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何？“盈不足”：线性插值法；“盈不足”可以解决非盈亏类问题；“盈不足”通过丝绸之路传入阿拉伯国家，被称为“契丹算法”。贡献五：几何“方田”：各种图形的面积计算；“商功”：各种土木工程中的体积计算。长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式正确；只是圆周率取3，误差较大。“勾股”：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。评价小苍金之助（日）：《九章算术》是中国的《几何原本》。吴文俊：《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与《几何原本》东西辉映，各具特色。1968年德国沃格尔（Vogel）把《九章算术》译成德文出版时的评论：“在古代算术中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。”2121122121122121,,bbbabaxyaababayaabbx3.2.1刘徽与《九章算术注》《九章算术》数学理论门类繁多，依题列术，术文不附原理说明。刘徽注《九章》，一面阐明每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系，使之成为一个严谨、完整的理论体系。刘徽(魏晋,公元3世纪)，幼习《九章》，长再详览。知识渊博，精通四书五经、诸子，谙熟前人数学，《周髀算经》、张衡数学。刘徽集前辈之大成，又不迷信古人。注方田章圆田时，由于前人用径一周三，古率失之于粗，刘徽注说：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。在中国古代数学中的地位、影响：阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理；《九章算术注》中有的注文千字以上，是一篇高水平的数学论文；公元263年撰《九章算术注》，《海岛算经》；中国传统数学最具代表性的人物，其学术思想为后世继承，如祖冲之，李淳风（唐）。(一)割圆术-极限思想闪烁“割圆术”：用圆内接正多边形去逐步逼近圆。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”具体贡献：圆周率的推导；球体体积公式的证明1圆周率的推导2求积理论刘徽的面积、体积理论基础：“出入相补原理”。刘徽用这条原理成功地证明了《九章算术》中的许多面积公式。刘徽在推证《九章算术》中的一些体积公式时，使用：极限方法与不可分量方法。（1）计算球体积，刘徽提出“牟合方盖”。（2）阳马体积的推导3.2.2祖冲之与祖暅祖冲之(429-500A.D)：做过小官，创制《大明历》，当时最先进的立法。著作：《缀术》，已经失传。贡献一：圆周率的推导祖冲之求得的π值的取值范围为3.141592π3.1415927约率：722密率：11335516cenV.Otto等重新推算出这个分数近似值贡献二：球体积的推导祖暅原理：幂势既同，则积不容异。指“两等高立体图形，若在所有等高处的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。思路：刘徽用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为π：4，于是由祖暅原理立即得到V球:V牟=π：4即V球=（π/4）V牟。假设：V小牟=V立方体-V直四棱锥=332r,V牟=8*332r，则V球=（π/4）V牟《算经十书》《算经十书》是隋唐时期的教科书，包括十本书，分别是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张邱建算经》《夏侯阳算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》《缀术》失传，后用《数术记遗》补。一《孙子算经》“物不知数“问题：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。计算过程为：N=70×2+21×3+15×2－2×105.二《张邱建算经》“百鸡问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”给出三组答案：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）三《缉古算经》《辑古算经》是十部算经中最晚的一部，作者王孝通，唐初人。求解28个如下的三次方程：数值解。3.3宋元数学-中国古代数学的顶峰宋元时期的主要数学家：贾宪，秦九韶，朱世杰，李冶社会背景：毕升发明活字印刷术(约1041—1048年)，促进了数学著作的保存与流传。三大发明：活字印刷，火药，指南针。社会的商业繁荣，手工业兴盛，国家统一。一贾宪贾宪：北宋人，《黄帝九章算术细草》，失传，主要内容载于杨辉著作中。贡献：1贾宪三角即二项式系数表2开高次方二秦九韶秦九韶：著《数书九章》贡献：1“正负开方术”：高次方程数值解法2“大衍总数术”：一次同余组解法，称为“中国剩余定理”。三李冶与天元术天元术----半符号代数天元术：列一元高次方程的方法，“立天元一为某某”，即“设x为某某”。四朱世杰朱世杰：（1260-1320年）平民数学家，数学教育家。著作：《四元玉鉴》标志中国古代数学的顶峰；《算学启蒙》：通俗数学；贡献1：四元术四元术：解多元高次联立方程组的方法。未知数：“天”，“地”，“人”，“物”。贡献2：垛积术-高阶等差数列求和法贡献3：高次内插法“立方招兵”问题：“以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，…今招十五日，问招兵几何？”设每日招兵人数：，十五日共招兵：思考题：与古希腊数学比较，中国古代数学的特点是什么？3)2(n3333)2(543)(nns