有限元考试简答题提纲

第一章有限元法绪论有限元法：在一定条件下，用单元集合成的组合结构近似真实结构，在此条件下，分区域插值求解以趋近于真实解的方法。【可适用于任何复杂的集合区域，满足一定条件下，单元越少，节点越多，有限数值解的精度就越高】有限元法思路：将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。常用有限元工具：ANSYS;ADINA;SAP5;ABAQUS;SUPERSAP......有限元法用途：有限元是在结构静、动态分析中应用的一种有效的数值分析方法，目前被广泛地应用在很多工程领域。如：航空、造船、机械、建筑、水利、铁道、桥梁、石油、化工、冶金、采矿、汽车等工程领域。第二章弹性力学基本理论回顾（基本概念）弹性力学：又称弹性理论，是研究物体在外部因素（如外力、温度变化等）作用下产生的应力、应变及其位移规律的一门科学，是固体力学的一个分支。弹性力学基本任务：针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律，即已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任意一点的应力、应变状态和位移。弹性力学研究对象：理想弹性体（符合虎克定律，符合四个假定）虎克定律：固体材料受力之后，材料中的应力与应变之间成线性关系。理想弹性体假定：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定。【实际问题中又要满足小位移和小变形假定】基本力学量：位移δ应变ε应力σ几个常用系数：1.抗压弹性模量（弹性模量）E2.侧向收缩系数（泊松比）μ3.剪切弹性模量（对称刚度模量）G圣维南原理：叙述一:如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（即主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。12EG叙述二：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于0），那么，这个面力只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。弹性力学的平面问题：1.平面应变问题：（1）z向尺寸远大于x，y向尺寸，且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同。（2）受平行于横截面（xoy）平面而不沿z向变化的外载荷（包括体力x，y但z=0），约束条件沿z向也不变。即所有内在因素和外来作用都不沿长度变化。2.平面应力问题：（1）长、宽尺寸远远大于厚度。（2）沿板面承受平行于板的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。第三章平面问题的有限元法力学模型：忽略机械运动物体的次要因素，找出反应其本质的主要力学因素，将复杂的实际物体简化为抽象的，满足一定的精度条件的简单模型。数学模型：数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。有限元法的基本思想：假想把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（节点）处相互连接，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在节点上引入等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。有限元法的实质：把无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为合适于数值解法的结构性问题。有限元法的基本步骤（详细表述）：1.根据工程的实际情况和原始条件选定适当的力学模型，并按照一定的比例尺绘制结构图形，注明尺寸、载荷和约束情况；2.选定单元类型，对力学模型进行离散化，编制单元和节点号码，选定坐标，并求出各节点坐标值；3.根据载荷类型，将各单元所受载荷移至有关节点，并求出等效节点载荷；4.根据节点坐标值和材料参数，求出各单元刚度矩阵；5.按刚度集成法，由各单元刚度矩阵组集成结构的整体刚度矩阵；由各节点位移组集成整体结构位移列阵；由各单元节点的载荷列阵组集成整体结构的载荷列阵；建立整体刚度方程；6.引入约束条件，修改整体刚度矩阵和载荷阵列，求解方程得出各节点位移；7.根据已求得的各单元节点的位移分量，求解各单元的应力分量和各单元的主应力以及主平面方向角；8.输出计算结果，绘制结构的变形图和各应力分量的分布图等。单元位移表达式单元的刚度方程{f}——单元内任一点位移阵列{R}e——单元结点载荷[N]——单元的形函数矩阵[k]e——单元刚度矩阵{δ}e——单元的节点位移阵列单元应变表达式总体结构的刚度方程{ε}——单元内任一点应变阵列[K]——总体刚度矩阵[B]——单元的应变矩阵{δ}——整体的节点位移阵列单元应力表达式{R}——总体载荷列阵虎克定律{σ}——单元内任一点应力阵列[D]——单元的弹性矩阵虚位移原理（虚功原理）：efNeBeBDeeekRdxdydzkveBDBTRKD在弹性体上，外力在可能位移上所作的功等于外力引起的可能应力在相应的可能应变上所作的功。三角形常应变单元：把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形，这些三角形在其顶点（节点）处相互连接，组成一个单元集合体，代替原来的弹性体。将所有作用在单元上的载荷按虚功等效原则移置到节点上，成为等效节点载荷，由此得到平面问题的有限元计算模型。（i，j，m按逆时针方向排列）常应变单元：单元中各点的应变分量都是常量的单元（ε=const）由于常应变单元的位移模式是线性的，因而在单元公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移是连续的。为什么三角形单元是常应变单元？因为三角形单元的位移模式是线性函数，所以三角形单元是常应变单元。（xux，yxu321，2x）形函数ycxba21iiiiN其中mmjjiiyx1yx1yx12形函数的性质：1.形函数在各单元节点上的值，具有“本点为1，他点为0”的性质；如1y,xiiiN0y,xjjiN0y,xmmiN......2.在单元任一节点上，三个形函数之和等于1；1y,xy,xy,xmjiNNN3.三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关，而与其他节点坐标无关。如在ij边上，ijiix-xx-x-1y,xNijijx-xx-xy,xN0y,xmN面积坐标与直角坐标变换关系：1mjimmjjiimmjjiiLLLLyLyLyyLxLxLxx【单元的刚度取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变】整体刚度矩阵：N为单元数，n为节点数，上式针对平面问题nnn2n1n22221n11211KKKKKKKKKKLMMMLL（分块矩阵形式）【只有当[Ksr]的下标s=r或者同属于一个单元的节点号码时，[Ksr]才可能不为零】组装总体刚度矩阵[K]的一般规则：1.当[Ksr]的下标s=r时，该点被哪几个单元所共有则总刚子矩阵[Ksr]就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵[ksr]e的相加；2.当[Ksr]的下标s≠r时，若rs边是组合体的内边，则总刚子矩阵[Ksr]就是公用该边的两相邻单元的刚度矩阵子矩阵[ksr]e的相加；3.当[Ksr]中的r和s不同属于任何单元时，则总刚子矩阵[Ksr]=[0]。整体刚度矩阵的性质：1.整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义：欲使弹性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上需要施加的节点力；2.[K]的主对角元素总是正的；3.[K]为对称矩阵，即[Krs]=[Ksr]T；4.[K]是一个稀疏矩阵；5.[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。NTNBDBK1e1eetdydzk【半带宽B=2*（相邻节点号的最大差值D+1）】位移模式需要满足的收敛准则：1.位移模式必须包含单元的刚体位移，即节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变；2.位移模式必须包含单元的常应变；3.位移模式在单元内要连续，且在相邻单元之间的位移必须协调。【满足1.2.称完备单元，满足3.称协调单元或保续单元】节点的选择及单元的划分：1.通常将集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、自由边界的分界点、支承点取为节点；2.当物体由不同材料组成时，取厚度不同或材料不同的部分，划为不同单元；3.在保证计算精度的前提下，采用尽可能少的单元，对于应力变化梯度较大的部位可将单元划分小一些，而平缓区域可划分粗一些；4.单元各边长度不应相差太多，三角元内角不小于五度，以免出现过大的计算误差或病态矩阵。刚度矩阵修正常用方法：（P49）将[K]中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个大数，如1015，同时将{R}中的对应元素换成指定的节点位移值与该大数的乘积。【当物体温度发生变化时物体由于膨胀而产生线应变αT，其中α为材料的线膨胀系数，T为弹性体内任意点的温度改变值，在平面问题中，它是坐标x，y及时间t的函数。】第五章轴对称问题轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束以及外载荷都对称于某一轴，则弹性体内各点的所有位移、应力及应变也都对称于此轴，称这类问题为轴对称问题。为什么轴对称问题可以简化为平面问题：在圆柱坐标系下讨论轴对称问题，以弹性体的对称轴为z轴，其约束及外载荷也都对称于z轴，因而弹性体内各点的各应力分量、应变分量、位移分量都与环向坐标θ无关，只是径向坐标r和轴向坐标z的函数，也就是说，在任何一个过z轴的子午面上的位移、应力、应变的分布规律都相同，因此可以把轴对称三维问题简化为二维问题。第六章杆件系统的有限元法杆件系统单元划分：凡是杆件的交叉点、边界点、集中力作用点都应取为节点，二节点之间的杆件均可作为单元。平面杆件系统：在同一平面内的若干杆件以焊接或铆接等方式连接起来的结构，若其所承受的载荷也在该平面内，称此结构为平面杆件系统。如何考虑剪切应变对梁挠度的影响：一般情况下，剪切应变对梁挠度的影响是微小的，可以忽略不计，当梁截面的高大于梁长度的1/5时，剪切应变对挠度的影响就必须予以考虑，尤其是在薄壁截面的情况，剪切对挠度的影响是巨大的。空间杆件系统：若杆件系统、截面主轴或作用载荷不在同一平面内，称此类问题为空间杆件系统问题。梁、柱、杆的区别：梁：多水平放置，受弯矩；柱：多竖直放置，受压力；共同点：纵向尺寸远远大于横向尺寸。杆：不传递力矩，多受拉力。第八章等参数单元等参元的基本思想：首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状单元（子单元）；若子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换节点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与节点参数进行插值，则称其为等参元。等参元：若单元坐标变换式和位移模式所用的形函数的阶次相等，即用于规定单元形状的节点数等于用于规定单元位移的节点数，称此类单元为等参元。超参元：若单元坐标变换所用的形函数的阶次高于位移模式所用的形函数的阶次，即用于规定单元形状的节点数多于用于规定单元位移的节点数，称此类单元为超参元。逊参元：若单元坐标变换所用的形函数的阶次低于位移模式所用的形函数的阶次，即用于规定单元形状的节点数少于用于规定单元位移的节点数，称此类单元为逊参元。等参元的优点：1.应用范围广。在平面和空间连续体、杆系结构和板壳问题中都可以应用。2.推导过程具有通用性。一维、二维、三维的推导方法基本相同。3.可以模拟曲线和曲面边界，适用于处理各种复杂边界条件。4.节点可以灵活增减，容易构造各种过渡单元。常用平面等参元：四节点四边形单元、八节点曲边四边形单元、6~8可变节点曲边四边形单元......常用空间等参元：8节点任意六面体单元、20节点三维单元、8~21可变节点三维单元......以平面等参元为例：单元位移模式（用单元节点的位移表示单元任意点的位移）：iiiivNvuNu,,单元坐标变换：iiiiyNYx