数理统计习题与解答-习题-2

习题二1．设122(,,,)TnXXX…是来自正态总体2(0,)Nσ的一个样本，试求统计量12222122nnnnXXXTXXX+++++=+++的分布密度。解：由于122(,,,)TnXXX…是来自正态总体2(0,)Nσ的一个样本，则12~(0,1)nXXXNnσ+++，22221222~()nnnXXXnχσ+++++，且相互独立，从而12222122~()nnnnXXXTtnXXX+++++=+++其分布密度为：1221()2()(1)()2nnxfxnnnπ+−+Γ=+Γ。2．设总体2~(,)XNμσ，μ，2σ已知，12(,,,)TNXXX是来自总体X的一个样本，试求统计量21()niiTXμ==−∑的分布密度。解：记iiXYμσ−=，1,2,,in=，则...~(0,1)iidiYN且22211()~()nniiiiXYYnμχσ==−==∑∑则21()niiTXμ==−∑的分布密度函数为21222/21,0()(2)()20,0xnnexxnfxxσσ−−⎧∞⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩3．设12(,,,)TnXXX是来自正态总体2(0,)Nσ的一个样本，试求下列统计量的分布密度：（1）211niiYX==∑；（2）2211niiYXn==∑；（3）231niiYX=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑；（4）2411niiYXn=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑。解：由题知：()...~0,1.iidiXNσ(1,2,...,)in=，所以()2221~.niiXnχσ=∑（1）22121,niiXYσσ==∑()()2112212222222112211.(0)22nnxYnxnnxfxenxexnσσσσσ−−−−⎛⎞=⎜⎟⎛⎞⎝⎠Γ⎜⎟⎝⎠=⎛⎞Γ⎜⎟⎝⎠（2）211YYn=，()()122211222222211()22(0)22nnnxYYnnnnxnnfxnfnxnnxennxexnσσσσ−−−−==⋅⎛⎞Γ⎜⎟⎝⎠=⎛⎞Γ⎜⎟⎝⎠（3）因为()21~0,niiXNnσ=∑，所以221~(1)niiXZnχσ=⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑，23YnZσ=，因此22311/222222111()(0).22xxnnYxfxexexnnnσσσσππσ−⎛⎞−−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞==⎜⎟⎝⎠（4）431YYn=，2243122211()().22nxxnYYfxnfnxnexennxσσσπσπ−−−==⋅=4，设1212,,,,,,)TnnnnmXXXXXX+++……（，是来自正太总体2(0,)Nσ容量为nm+的样本，试求下列统计量的概率分布：（1）121niinmiinmXYnX=+=+=∑∑；（2）2121niinmiinmXZnX=+=+=∑∑。解：（1）112211niniiinmmniiininXmXnYXnXmσσ==++=+=+==⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑因为iX服从2(0,)Nσ(1,2,,,1,,)innnm=++……且相互独立，所以11niiXnσ=∑服从正态分布(0,1)N，又因为21mniinXσ+=+⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑服从2()mχ，且11niiXnσ=∑与21mniinXσ+=+⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑相互独立，所以121~()niinmiinmXYtmnX=+=+=∑∑。(2)因为22112211niniiimnnmiiininXmXnZXnXmσσ==++=+=+⎛⎞⎜⎟⎝⎠==⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑，又因为21niiXσ=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑服从2()nχ，21mniinXσ+=+⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑服从2()mχ且相互独立，所以2121~(,)niinmiinmXZFnmnX=+=+=∑∑。5．设12(X,,,)TnXX⋅⋅⋅是来自正态总体2(,)μσΝ的样本，X和2nS是样本均值和样本方差；又设21~(,)nXNμσ+，且与12X,,,nXX⋅⋅⋅独立，试求统计量111nnXXnTSn+−−=+的概率分布。解：根据正态总体抽样分布的性质可知211~(,)niiXXNnnσμ==∑，根据定理可知222~(1)nnSnχσ−，且2nXS与相互独立，又已知21~(,)nXNμσ+，且与12,,,nXXX⋅⋅⋅独立，所以211~(0,)nnXXNnσ++−，即1~(0,1)1nXXNnnσ+−+，且2121nnXXnSnnσσ+−+与独立，因此1221()~(1)(1)nnnXXnTtnnSnσσ++−=−−即11~(1)1nnXXnTtnSn+−−=−+。6.设()12,,,TmXXX…和()12,,,TnYYY…分别是来自两个独立的正态总体21(,)Nμσ和22(,)Nμσ的样本，α和β是两个实数，试求12222212()()2mnXYZmSnSmnmnαμβμαβ−+−=+++−的概率分布。其中X，21mS和Y，22nS分别是两个总体的样本均值、样本方差。解：因为21~(,)XNmσμ、22~(,)YNnσμ且相互独立，所以222212~(,)XYNmnασβσαβαμβμ+++，即1222()()XYUmnαμβμαβσ−+−=+服从()0,1N。又2212~(1)mmSmχσ−，2222~(1)nnSnχσ−且相互独立，所以，2221222~(2)mnmSnSVmnχσσ=++−，且1222()()XYUmnαμβμαβσ−+−=+与相互独立从而，由t分布的定义得：12222212()()~(2)2mnXYZtmnmSnSmnmnαμβμαβ−+−=+−+++−7、设总体X的分布函数为()Fx、分布密度为()fx，12(,,,)TNXXX为来自总体X的一个样本，记(1)()11min(),max()iniininXXXX≤≤≤≤==，试求(1)X和()nX各自的分布函数和分布密度。解：()()1(){}{,1,2,,}{}[()]nnnXniiiFxPXxPXxinPXxFx==≤=≤==≤=∏(1)(1)(1)1(){}1{}1{,1,2,}1{}nXiiiFxPXxPXxPXxxnPXx==≤=−=−==−∏1[1{}]1[1()]nniPXxFx=−−≤=−−(1)1(1)()()[1()]()nXfxFxnFxfx−′==−，()1()()()[()]()nnXnfxFxnFxfx−′==8．设总体X的分布密度为2,01()0,xxfx⎧=⎨⎩其他12(,,,)TnXXX为来自总体X的样本，试求最小次序统计量()1X、最大次序统计量()nX、及第k个次序统计量()kX的分布密度。解：知X的分布函数为200()0111xFxxxx⎧⎪=≤⎨⎪≥⎩，，，()[]()()111122()1()()1221,01.nnnXfxnFxfxnxxnxxx−−−=−=−⋅=−()()()[][]()()()()1122!!()()1()()12,011!!1!!kknkknkXnnfxFxFxfxxxxxknkknk−−−−=−=−⋅−−−−()[]()11221()()()22,01.nnnnXfxnFxfxnxxnxx−−−==⋅⋅=因此，()()11221,01()0,nXnxxxfx−⎧−⎪=⎨⎪⎩其它()21201()0,nnXnxxfx−⎧=⎨⎩其它，()()()()()122!12,011!!()0kknkXnxxxxknkfx−−⎧−⎪−−=⎨⎪⎩其它，9，设总体X服从区间(0,)θ上的均匀分布，12(,,,)TnXXX…为来自总体X的样本，试分别求次序统计量(1)(),nXX和()kX的分布密度。解：总体X的分布密度函数：1,0()0,xfxθθ⎧⎪=⎨⎪⎩其他所以X的分布函数:0,0(),01,xxFxxxθθθ≤⎧⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩又因为[](1)1()1()()nXfxnFxfx−=−，所以(1)11(1),0()0,nXxnxfxθθθ−⎧−⎪=⎨⎪⎩其它又因为[]()1()()()nnXfxnFxfx−=，所以()1,0()0,nnnXnxxfxθθ−⎧⎪=⎨⎪⎩其它[][]()1!()()1()().(1)!()!kknkXnfxFxFxfxknk−−=−−−1!1()(1),0(1)!()!,1,20,knknxxxknkknθθθθ−−⎧−⎪−−==⎨⎪⎩…其它10、设总体X服从参数为λ的指数分布，即X的分布密度为,0,()0,0,xexfxxλλ−⎧=⎨≤⎩其中0λ，12(X,,,)TnXX⋅⋅⋅为来自总体X的样本，试求次序统计量(1)(2)()(,,,)TnXXX⋅⋅⋅的联合分布密度和(1)()(,)TnXX的联合分布密度。解：（1）(1)(2)()(X,,,)TnXX⋅⋅⋅的联合分布密度1121(,,,)!(!niinynniifyyynfyneλλ=−=∑⋅⋅⋅==∏）（120nyyy⋅⋅⋅）联合分布密度为：11212!,(,,,)0,niiynnnneyyyfyyyλλ=−⎧∑⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎨⎪⎩其他（2）(1)()(,)TnXX的联合分布密度：[](1)()2(,)(1)()()()(),(,)0,nnXXnnFyFxfxfyxyfxyxy−⎧−−⎪=⎨≥⎪⎩其中(),()FxFy为总体X的分布函数：0()1,0()0,0xxxxfxdxedxexFxxλλλ−−−∞⎧==−⎪=⎨⎪≤⎩∫∫0()1,0()0,0yyyyfydyedyeyFyyλλλ−−−∞⎧==−⎪=⎨⎪≤⎩∫∫则代入上式可得到(1)()(X,)TnX的联合分布密度为(1)()22()(,(1),0(,)0,nnxyxyXXnneeexyfxyxyλλλλ−−−−+⎧⎡⎤−−⎪⎣⎦=⎨≥⎪⎩）11．若从某种体中抽取容量为13的样本：（-2.1，3.2，0，-0.1，1.2，-4，2.22，2.0，1.2，-0.1，3.21，-2.1，0）。试写出这个样本的次序统计量，求出样本中位数和极差。如果再加一个2.7构成一个容量为14的样本，求样本中位数。解：①样本的次序统计量为（-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.0，2.22，3.2，3.21）；②根据样本中位数1()21()()22,1,2nnnXnXXXn++⎧⎪⎪=⎨⎡⎤⎪+⎢⎥⎪⎣⎦⎩为奇数为偶数和极差()(1)nRXX=−的定义，易知样本的中位数和极差分别为0与7.21；③添加2.7后样本的中位数为0.6。12、设总体样本X分布密度为23(1),01()0,xxfx⎧−=⎨⎩其它127(,,,)XXX是来自总体X的容量为7的样本，试求样本中位数()4X小于310.6−的概率.解：总体X的分布函数为31(1),01()0,xxFx⎧−−=⎨⎩其他样本()4X的概率密度函数为：[][](4)41747!()()1()().(41)!(74)!XfxFxFxfx−−=−−−()(){}44XFpXx=≤()3(4)1(1)3307!()13!3!xxXfxdxttdt−−−∞==−∫∫令310.6x=−,则()34(10.6)XF−76540.47!3()03!3!7254tttt=×−+−+