点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-1,2

-哈尔滨工程大学--理学院--林锰-点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射本章教学基本要求掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法掌握闭集和闭包等相关概念.重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明.难点：拓扑空间,同胚映射DepartmentofMathematics§2.1度量空间与连续映射一.度量空间1.度量空间的定义0),(,0),()1yxyxyx),(),()2xyyx),(),(),()3zyyxzx则称ρ是集合X的一个度量．并称为度量空间.),(X对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．定义2.1.设为集合,为一映射,如果对于任何x，y，z∈X，有:XRXX:DepartmentofMathematics例2.1对于实数集合R,定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ(x，y)=|x-y|．ρ是R的一个度量，因此偶对(R，ρ)是一个度量空间,通常称为实数空间.例2.2n维欧氏空间,对于实数集合R的n重笛卡儿积,定义ρ：,对于任意的RRRnn),,,,(21nxxxxnnRyyyy),,,(21niiiyxyx12)(),(定义:则ρ是上的一个度量nRDepartmentofMathematics例2.3离散的度量空间．设(X,ρ)是一个度量空间．如果对于每一个x∈X，存在一个实数,使得,对任意的都成立,称(X,ρ)是离散的，或者称ρ是X的一个离散度量.0xxyx),(yxXyx,,.,1;,0),(yxyxyx是一个离散度量例如:离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．DepartmentofMathematics2.度量空间的其他概念定义2.2.设(X,ρ)是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合:称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域.}),(|{),(yxXyxB定理2.1.度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质：1)对任意x∈X,至少有一个.且)(xB)(xBx2)对x∈X的任意两个,)(),(21xBxB)()()(.),(21xBxBxBxtsxB3)若,则存在.),(xBy),(),(xByBDepartmentofMathematics定义2.3.设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B(a,ε))，则称A是度量空间X中的一个开集．A例2.4实数空间R中的开区间(a,b)为开集.例2.5度量空间中的开球为开集.X例2.6[a,b]={x∈R|a≤x≤b}(a.b]={x∈R|a＜x≤b}，[a,b)＝{x∈R|a≤x＜b}都不是R中的开集．DepartmentofMathematics定理2.2.度量空间(X,ρ)的开集具有以下性质：(1)集合X本身和空集都是开集.(2)有限个开集的交是一个开集.(3)任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集定义2.4.设x是度量空间X中的一个点，U是度量空间X的一个子集．如果存在一个开集V满足:,则称U是点x的一个邻域.UVxDepartmentofMathematics二.度量空间中的连续映射定义2.4.设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及Xx0如果对于的任意一个球形邻域,存在的某一球形邻域,使得:)(0xf)),((0xfB0x),(0xB)),((),((00xfBxBf则称映射f在点处是连续的.0x如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．DepartmentofMathematics设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及则下述条件(1)和(2)分别等价于条件和：Xx0定理2.3)1()2(的每一个邻域的原象是的一个邻域.)1()(0xf0x(2)f是连续的Y中每一个开集的原象是X中的一个开集)2((1)f在点处是连续的.0x从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的,本质上只与度量空间中的开集有关DepartmentofMathematics一.拓扑空间的定义§2.2拓扑空间与连续映射(3)若.则∈11AA(2)若A,B∈.则A∩B∈(1),X则称是X的一个拓扑,称(X,)为拓扑空间.称中的元素为拓扑空间(X,)中的开集.定义2.5设X是一个集合是X的幂集P(X)的子集如果满足:DepartmentofMathematics说明常见的拓扑例2.1平庸空间．设X是一个集合．令,则是拓扑),(X),(X空间,称为平庸拓扑空间.拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别设是一个度量空间,则称为由度量诱导的拓扑,是由度量空间诱导的拓扑空间.),(X)},({XVXV是),(X),(XDepartmentofMathematics例2.2离散空间．设X是一个集合．令=P(X)，即由X的所有子集构成的族．容易验证，是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X,）中，X的每一个子集都是开集．练习2.1设X＝{a，b，c}．)},,(),,(),(,{1cbabaa是否X的拓扑1例2.3有限补空间．可数补空间．}{}{的一个有限子集是XUXUC}{}{的一个可数子集是XUXUCDepartmentofMathematics二.邻域与邻域系定义2.6设(X，)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈使得,则称U是点x的一个邻域．UVx如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．说明点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系,记为xUDepartmentofMathematics定理2.4拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．定理2.5设X是一个拓扑空间．x∈X,为x的邻域系,则:xU(1)对于任何x∈X，,如果则x∈UxU,xUU(2)如果,则U∩V∈.xUVU,xU(3)如果,并且,则:.xUUVUxUV(4)如果,则存在.满足:xUUxUV(a),(b)对于任何y∈V,有UVyUVDepartmentofMathematics三.拓扑空间中的连续映射和同胚映射定义2.7设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，以及如果对于的任意一个邻域,有:,则称在点处是连续的.)(0xf)(0xfUU0x0)(1xUUfXx0f如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是拓扑空间X上的一个连续映射．定理2.6f是连续的充分必要条件是Y中开集的原象是X中的开集DepartmentofMathematics定理2.7设X，Y和Z都是拓扑空间．则(1)恒同映射：:X→X是一个连续映射；Xi(2)如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．(3)常值映射：:是一个连续映射；YyX0C(4)从离散空间到任何空间的映射都是连续的(5)从X到平凡空间的任何映射都是连续的DepartmentofMathematics定义2.8设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个一一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．1f定理2.8设X，Y和Z都是拓扑空间．则(1)恒同映射：:X→X是一个同胚映射；Xi(3)如果f:X→Y和g:Y→Z都是同胚映射，则gof:X→Z也是同胚映射．(2)如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；1fDepartmentofMathematics定义2.9设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．定理2.9设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）X与X同胚；（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚．DepartmentofMathematics四.子空间的概念定义2.10设(X，)是一个拓扑空间，令,则是A上的拓扑,拓扑空间称为的子空间.}{VAVA),(AAXA),(XA定理2.10设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间．说明拓扑空间的任何子集都可以看作拓扑空间,即子空间),(X),(AXDepartmentofMathematics定理2.11设是拓扑空间,(1)若B是X中的开集,则B也是A中的开集.(2)若A是X的开集,B是A的开集,则B也是X中的开集),(X拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．关于拓扑性质拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．XABDepartmentofMathematics