物体运动的规律.

第一篇力学第一章物体的运动规律(6学时)第一篇经典力学描述物体的运动状态——运动学寻求物体具有某种运动状态的原因——动力学万有引力定律质点运动学刚体运动学静力学动力学质点力平衡刚体力矩平衡质点动力学刚体动力学内容结构第一章质点的运动规律研究方案1.什么是物体的运动——参照物与参照系2.如何将物体运动状态问题数学化——物理模型3.怎样定量描述物体的运动——物理参量的引入4.建立理论体系并作实际应用问题：如何描述物体的运动状态？问题：描述不同观察者观察到的物体运动状态？§1.1质点运动的描述一参照物和参照系1.恒定物体运动、静止的标准——引入参照物与参照系2.参照物与参照系二理想物理模型1.质点模型2.刚体模型三描述物体运动的物理参量1.位置矢量与运动方程2.位移与路程3.速度与速率4.平均加速度与加速度5.法向加速度与切向加速度(一)描述物体运动的线参量(二)描述物体运动的角参量1.角位移2.角速度3.角加速度4.线参量与角参量的关系四物体匀变速运动的描述内容结构一参照物和参照系1.恒定物体运动、静止的标准——引入参照物与参照系哲学论断：a.人不能两次踏入同一条河流。b.人不能同时踏入同一条河流。运动是普遍的、绝对的，但对运动的描述却是相对的。描述一个物体的运动，总得选择另一物体或几个彼此之间相对静止的物体作为参考，这就要求引入参照物或参考系。2.参照物与参照系参照物：被选取、且能用来描述物体运动状况的物体参照系：固定与参照物之上，用来确定待描述物体空间位置和方向而引入的数学坐标系。参照物与参照系的关系：参照系是参照物的数学抽象，必须能够建立坐标系的物体才能充当参照物。二理想物理模型1.质点模型：当物体的线度(大小和几何形状)对所研究物体运动状态的影响可以忽略不计时，用一个集中了物体所有质量的数学点来代表物体的运动状态，该点称为质点。2.刚体模型：当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不计时，将物体看作为一个不发生形变的几何体三描述物体运动的物理参量1.位置矢量与运动方程(1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。(一)描述物体运动的线参量xyzr(x,y,z)oxyz1coscoscos.coscoscos).1(222222　　　，　，　　　　　，位置矢量可写为：，，方向的单位矢量，，引入沿数学表述理解：　rzryrxzyxrkzjyixrkjizyx(2).位置矢量的特征相对性——参照系瞬时性——时刻t矢量性——大小、方向、运算法则(2).运动方程：位置矢量的时间函数。　　　，，　　　数学表述ktzjtyitxtrBtzztyytxxA)()()()(.)()()(.(3).轨道方程：质点在空间运动时的轨迹方程，称为轨道方程说明：运动方程一般应写成矢量形式B说明：轨道方程可由运动方程消去时间参量t得到。数学表示为：f(x,y,z)=0Rt)cos(tRx)sin(tRyjtRitRtr)sin()cos()(222Ryx例：质点从如图所示位置开始做匀速圆周运动求：运动方程与轨道方程解：运动方程：轨道方程：2.位移与路程(1).位移：在时间t内，由初始位矢指向末位矢的有向线段。xyzr(t)orr（t+t）直角坐标表示)()(trttrr222zyxrrxcosrycosrzcos1coscoscos222说明：矢量性——大小、方向、运算法则位移函数消去时间t，得轨道方程。位移矢量通常用r矢量，而不是r矢量表示位移与位矢的关系(2).路程：在时间t内，物体运动轨迹的长度，称时间t内物体的路程。ABC注意：路程与位移的区别、联系(略)问题：A.什么情形下物体路程与位移相等？B.判断：物体在时间t内路程为0，则物体一定保持相对静止物体在时间t内位移为0，则物体一定保持相对静止3.速度与速率(1).平均速度trv直角坐标表示:ktzzjtyyitxxktzjtyitxv)'()'()'(kvjvivvzyx222zyxvvvvvvxcosvvycosvvzcos1coscoscos222(2).即时速度dtrdv直角坐标表示kdtdzjdtdyidtdxvkvjvivvzyx222zyxvvvvvvzcosvvycosvvzcos1coscoscos222平均速率tsv即时速率dtdsv说明：a.即时速度不一定等于平均速度，只有在匀速直线运动情形下两者相等b.平均速率不一定等于即时速率c.即时速率与即时速度的大小相等vtrtsvtt00limlim例：判断下列写法是否正确dtdsva　.dtrdvb　.dtrdvc　.dtrdvd　.解a——正确，速率的定义式。b——正确，速率与速度大小相等。c——正确，由b的数学运算变形可得到c。矢量的导数=矢量大小的导数+矢量方向的导数标量的导数=标量大小的导数d——错误，位移的大小不等于路程2222222)()()()(zyxvvvdtdzdydxdtkdzjdyidxdtrdvdtzyxddtkzjyixddtrdv222r1r2|dr|d|r|dr,|dr|jtRitRtr)sin()cos()(作为特例，讨论例子：022dtdRdtyxddtjyixddtrdvRvvjtRitRdtrdv)cos()sin(可见，两种表达式结果不同；几何意义的区别如图例：已知一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为：x=4.5t2-2t3求：(1).第二秒内的平均速度(2).第二秒末的即时速度(3).第二秒内的平均速率解：(1).第二秒内的平均速度itxvsmixx/5.02)1()2((如何理解平均速度前的负号？)(2).第二秒末的即时速度ittidtdxv)69(2当t=2s时)/(6smiv(3).第二秒内的平均速率，因：tsv即判断速度的方向是否有改变，由问题(2)，知道物体运动方向发生改变，因此：令于是首先应当判断物体运动方向是否有改变0692ttv解得：t=1.5s)/(25.2)5.1()2()1()5.1(smxxxxs)/(25.2smtsv说明：求解平均速率前，一定考虑物体运动方向是否有改变4.平均加速度与加速度(1).平均加速度tva直角坐标表示ktvvjtvvitvvktvjtvitvazzyyxxzyxkajaiaazyx222zyxaaaaaaxcos1coscoscos222aaycosaazcos说明：平均加速度与速度改变量的方向一致，与速度本身方向没有必然联系。(2).即时加速度dtvda直角坐标表示kajaiakdtdvjdtdvidtdvazyxzyx222zyxaaaaaaxcos1coscoscos222aaycosaazcos说明：加速度与速度改变量的方向一致，与速度本身方向无关加速度方向总指向轨迹曲线的凹侧(由高数二阶导数知识)例：描述以作匀速圆周运动的质点的运动状况，并证明其速度方向沿圆周切线方向，加速度方向指向圆心。解：如图建立坐标系A.运动学方程tRxcostRysinjtRitRtrsincos)(于是RtB.轨道方程222RyxC.速度jtRitRtvcossin)(D.加速度rjtRitRtasincos)(22E.证明其速度方向沿圆周切线方向0rv因：速度方向沿圆周切线方向F.加速度方向指向圆心rta)(因：加速度方向与径向方向相反，指向圆心说明：(1).对物体运动状态的描述或分析物体的运动状态，就是给出描述物体运动状态所有参量的表达式。即：运动方程、轨道方程、速度、加速度。如P34.例3-4(自己分析)(2).讨论矢量方向的通用方法是：证明该矢量的单位矢量与一已知矢量的单位矢量的标积，从而确定其方向00coscosbabbaababa(3).求质点运动方程或轨道方程，一般是首先求出各分量坐标随时间变化的函数关系式，然后求运动方程或轨道方程例：灯距地面的高度为H，身高为h的人在灯下以匀速率v沿水平直线行走，如图3-4所示求：他的头顶在地面上的影子M点沿地面的移动速度。解：对矢径未知的问题,需先建立坐标系,找出矢径再用求导的方法处理。本题中影子M点的运动方向向左，故只需建立如图所示的一维(x)坐标Hhxxx212hHHxx12解得vxBDACHx1Mhox2由三角形MCD与三角形MAB相似dtdxvdtdxVM21，注意到hHHVvM故影子M点运动速度为例:质点沿x轴运动，加速度和速度的关系是:a=-kv,式中k为常量，t=0时，x=x0，v=v0求：质点的运动方程。ktoevv完成积分得tvvdtKdvv0)(10adtdvdtdva由　解)1(00ktekvxx完成积分就得运动方程dtdxv又由dtevdxktxxt000有5.向心加速度和切向加速度(1).自然坐标：建立在质点运动轨迹上，以其切向和法向两个方向的单位矢量作为其独立的坐标方向的坐标系，称为自然坐标系。自然坐标系在描述物体曲线运动方面有较大优越性Rn(t+t)(t)(t+t)(2).法向加速度与切向加速度vvdtdvdtdvdtvdandtdnttdtdtt00limlimRn(t+t)(t)(t+t)故naanRvdtdvant222222)()(RvdtdvaaanttnaatgdsdvdtdsdsddtdRdsd1又讨论A.物理意义dtdva表沿切线方向速度大小(速率)的变化率，称切向加速度nRvan2表速度方向变化快慢，方向指向圆心，称向心加速度dtdvaB.v的物理含义nRvan2速度，求解时，应代入速率求解。中的v均是速率，不是C.标量、矢量的求导法则矢量的导数=矢量大小的导数+矢量方向的导数标量的导数=标量大小的导数例：判断下列写法是否正确dtdva).1(——错，应是dtdvatdtvdat或dtvdadtvdat).2(——错，应是dtvdat因22ntaaadtvddtvdat).3(——错，因dtvvdtvdtn22dtdvtvttvttvtvdtvdatttttt000lim)()(limlim而显然dtvddtvd类似地dtrddtrdctbdtdsvcdtdvatRctbRvan22)(cRcbt由an=|at|得:cbt解得caaatn22(2)由解：(1)由公式例：质点沿半径为R的圆周运动，路程与时间的关系：221ctbts求:(1)何时an=at？(2)何时加速度的大小等于c?(b,c为常数,且b2Rc)例：求斜抛体在任一时刻的法向加速度an、切向加速度at和轨道曲率半径(设初速为v0，仰角为)。解：设坐标x、y沿水平和竖直两个