现代控制理论-14.

现代控制理论ModernControlTheory(14)俞立浙江工业大学信息工程学院爱克曼（Ackermann）公式闭环系统特征多项式：记闭环状态矩阵，应用凯莱－哈密尔顿引理，闭环状态矩阵满足问题：以上构成了关于增益矩阵K的一个方程，如何从中确定增益矩阵K？)()())(()~det()](det[011121bbbnnnnAIBKAI0IAAAA0111~~~)~(bbbnnnBKAA~需要设法把增益矩阵K分离出来！以一个三阶系统为例来说明从关系式分别乘以，再相加可得II)1(,,,33210bbbbbAABK222()AABKAABKBKA33322()AABKAABKABKABKAIBKABKABKAIAAA01110111)()()(~~~0bbbbbbnnnnnnIBKABKABKAIAAA0122301223)()()(~~~0bbbbbb设法将包含增益矩阵K的进行分类合并2323012012()()bbbbbbIAAAIABKAABKBKAA221220()()bbbAABKBKABKAABKABKAABKBKAAKKABAKAKKBA22221)~()~~()(bbb22ABKABKABKA23012122bbbbbbIAAABKABKBKA22ABKABKABKA由能控性，可得－－爱克曼公式BKAAKKABAKAKKBA22221)~()~~()(bbbKAKKAKAKKBAABB~~~][22212bbbKAKKAKAKKABAABB~~~)(][222112bbbKKAKKAKAKKABAABB~~~]100[)(]][100[222112bbb)(][]100[12ABAABBK例对传递函数描述的二阶系统，确定一个状态反馈控制律，使得闭环极点位于解期望闭环多项式：对象的状态空间实现：能控性矩阵：爱克曼公式：21)(ssGj122)(2xxx01100010yu0110],[BAc22)(0110101AK关于极点配置问题：1。n个极点，以共轭对的形式出现；2。主导极点；3。考虑到零点的影响；4。系统响应速度并非越快越好；5。单输入系统，极点配置不影响零点分布；6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入系统则不惟一7。区域极点配置。不足：需要用到全部状态。5.3.5应用MATLAB求解极点配置问题提供了两个函数：acker:基于爱克曼公式，适用于单输入系统，多重极点place:适用于多输入系统，相同极点个数不超过B的秩对单输入系统，所得的K是一致的K=acker(A,B,J)K=place(A,B,J)检验：eig(A-B*K)极点配置的优点：可以改善系统的稳定性、动态性能][21nJ控制系统设计的目标闭环系统稳定；闭环系统具有满意的过渡过程；采用的方法线性定常系统，系统极点决定了稳定性和动态性能极点配置设计的控制器状态反馈控制器：例已知被控对象的状态空间模型为设计状态反馈控制律，使得闭环极点为-4和-5，并讨论闭环系统的稳态性能。系统的开环极点是-1和-3，现在要求将闭环极点配置在-4和-5位置上，加快响应速度！采用极点配置方法可得xyuxx23104310xKxu]517[状态反馈增益矩阵是检验闭环系统的稳态性能利用终值定理方法！闭环系统状态矩阵闭环传递函数当参考输入为单位阶跃信号时，系统输出的稳态值存在稳态误差]517[K013()lim()lim()(0)20tsyytsGsGs92010517104310BKA20932)]([)(21sssssGBBKAIC)()(lim)(lim)(lim00sUssGssYtysst开环系统是稳定的，且开环传递函数开环系统的稳态输出闭环系统的稳态输出3432)(2ssssGo203)(cytime(sec)outputStepResponse012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91From:U(1)To:Y(1)time(sec)outputStepResponse00.511.500.050.10.150.20.25From:U(1)To:Y(1)开环系统的单位阶跃响应闭环系统的单位阶跃响应133)0()(ooGy无静差有静差结论：极点配置改善了系统的动态性能；有可能降低系统的稳态性能，一个无静差的系统产生了静差。怎么办？抛弃！改良！问题：如何在改善系统动态性能的同时，又不降低稳态性能呢？跟踪控制器设计考虑系统参考输入：外部扰动：特点：都是阶跃信号（为了处理的简单）问题：设计控制器，使得系统是稳定的，且具有期望的过渡过程特性；在存在扰动下，系统输出跟踪参考输入。CxydBuAxx)(1)(0ttdd)(1)(0ttrryy消除误差的办法：积分器！定义误差向量：引入误差的积分：对多输出系统：将积分器的输出作为状态，可得增广系统)()()(tytytertdetq0)()()()()()(tytCxtetqrtrttreeetqtqtqt0020121Td)(d)(d)(])()()([)(qqxCyyduBqxCAqx0000r引入了积分器CxyyCxqdBuAxxr对增广系统首先必须是稳定的！设计状态反馈控制律使得闭环系统是稳定的。进而分析稳态性能：求拉氏变换，得到qKxKqxKKu2121rydqxCBKBKAqx021)()()()(121sssssrydCBKBKAIqx00000rdxAxBuyqCqxyCq参考输入和外部扰动都是阶跃信号时，由终值定理即x和q趋向于常值。从而和趋于零。结论：针对增广系统，设计状态反馈控制律，使得闭环系统渐近稳定，对应的系统无静态误差。若还需要系统有期望的过渡过程特性，则可极点配置！0)]()([limtytyrt001210012100lim)()(lim)()(limrrsstsssssssttydCBKBKAydCBKBKAIqxqx00)()()(tttryyq)(tx)(tq条件：增广系统能任意配置极点的条件是系统能控。定理增广系统能控的充分必要条件是（1）原来系统是能控的（2），，在对原系统进行极点配置时，也需要能控性！条件（2）的解释：m是输入的个数，r是输出的个数。：输入个数不少于输出个数：所有的测量输出都是独立的rnCBA0rankrmrCrankrmr)(rankC（2），，证明：能控原系统的能控性行向量线性无关，是行满秩的rnCBA0rankrmrCrank][1BAABBn00,0CABrnrn000,,000,0rank1BCABCABBCACABCBBABAABB2120rnrnzc][0][2121BABAABBCBABAABBABrnnrnnS10000111ISCBACSASB1S最后边的秩是n+r跟踪外部参考输入的控制律是比例积分控制器！s1CxyABK2s1K1yrequ积分控制器__状态反馈控制器td02121)(eKxKqKxKu例已知被控对象的状态空间模型为开环极点是-1和-3。状态反馈控制律使得闭环极点为-4和-5，改善了系统的衰减速度。xxx23104310yuxu]517[time(sec)outputStepResponse012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91From:U(1)To:Y(1)time(sec)outputStepResponse00.511.500.050.10.150.20.25From:U(1)To:Y(1)开环系统的单位阶跃响应闭环系统的单位阶跃响应解决方法：引进误差的积分增广系统模型增广系统能控00001ruyqqxAxBC0231430100CBArn30CBA010003401032001ruyqx[0][320]yqqxxCtrtdyydetq00])([)()(设计要求：保持原闭环极点－4，－5；增加一个增广闭环极点－8。利用Matlab可得：K=[-17.666713.000053.3333]跟踪控制律比例积分控制器。teu0d)(3333.53]136667.17[x单位阶跃响应：改善动态性能消除静态误差00.511.522.5300.20.40.60.811.21.4time(sec)outputtime(sec)outputStepResponse012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91From:U(1)To:Y(1)开环系统的单位阶跃响应跟踪控制器的闭环系统time(sec)outputStepResponse00.511.500.050.10.150.20.25From:U(1)To:Y(1)极点配置的闭环系统结论通过对增广系统进行极点配置，设计一个比例加积分的控制器，实现了闭环系统具有期望的过渡过程特性；无稳态误差。改进了极点配置算法！进一步的问题？控制器是需要用到系统状态的信息。如果状态不是物理量、或者不可测，怎么办？td021)(eKxKu