2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)

第1页（共18页）2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a=1，b=0B．＜C．a2＞b2D．a3＞b33．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=，则sinB=（）A．B．C．D．4．（5分）等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（）A．16B．32C．64D．1285．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（）A．akmB．2akmC．akmD．akm6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（）A．1008B．1009C．2016D．20178．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•=（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣49．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）第2页（共18页）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，则•的最大值为（）A．B．﹣C．D．﹣11．（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16B．24C．32D．4012．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）A．一个点B．椭圆C．双曲线D．以上选项都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为．14．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为．15．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为．16．（5分）若数列{an}满足an+1+（﹣1）n•an=2n﹣1，则{an}的前40项和为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为，求m的值．18．（12分）在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣，a=6，△ABC的面积为24．（1）求角A的正弦值；第3页（共18页）（2）求边b，c．19．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程及其离心率；（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．第4页（共18页）2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【分析】不等式可化为x（x﹣1）＜0，即可得到不等式＞1的解集．【解答】解：不等式可化为x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，∴不等式＞1的解集为（0，1），故选B．【点评】本题考查不等式的解法，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．2．（5分）a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a=1，b=0B．＜C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当a=1，b=0时，满足a＞b，反之不成立，则a=1，b=0是a＞b的一个充分不必要条件．B．当a＜0，b＞0时，满足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立，C．当a=﹣2，b=1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立，D．由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．第5页（共18页）3．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=，则sinB=（）A．B．C．D．【分析】由A的范围和平方关系求出sinA的值，由条件和正弦定理求出sinB的值．【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA=，∴sinA==，由正弦定理得，，则sinB===，故选D．【点评】本题考查了正弦定理，以及平方关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．4．（5分）等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（）A．16B．32C．64D．128【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6．【解答】解：∵等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，∴，解得a=2，q=2，∴a6=2×25=64．故选：C．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（）第6页（共18页）A．akmB．2akmC．akmD．akm【分析】先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．【解答】解：根据题意，△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=akm，BC=2akm，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得AB=akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D．【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与DF所成角的正弦值．【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点E，F满足=3，=3，∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F（0，1，4），=（0，﹣1，4），=（0，1，4），第7页（共18页）设异面直线BE与DF所成角为θ，则cosθ===．sinθ==，∴BE与DF所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（）A．1008B．1009C．2016D．2017【分析】由等差数列的性质得S2017=（a1+a2017）=2017a1009，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1009=1，∴S2017=（a1+a2017）=2017a1009=2017．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前2017项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•=（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关第8页（共18页）于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，则•=x1•x2+y1•y2，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1+x2=1，y1•y2=k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=k2[x1•x2﹣（x1+x2）+1]'则•=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=﹣3．故选：C．【点评】题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．第9页（共18页）10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，则•的最大值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由，⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB，•=AC•ABcos120°即可【解答】解：∵，∴⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤∴•=AC•ABcos120°≤，则•的最大值为，故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，涉及了不等式a2+b2≥2ab的应用，属于基础题．11．（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16B．24C．32D．40【分析】正实数a，b满足+=1，利用基本不等式的性质得ab≥8．把b+2a=ab代入（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8，即可得出．【解答】解：正实数a，b满足+=1，∴1≥2，解得ab≥8，当且仅当b=2a=4时取等号．b+2a=ab．∴（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8≥32．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）第10页（共18页）A．一个点B．椭圆C．双曲线D．以上选项都有可能【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．【解答】解：∵A为⊙O外一定