高二年级数学等比数列知识点总结与经典习题

....学习参考等比数列一．知识点梳理：1、等比数列的概念、有关公式和性质:（1）定义：1{}(nnnaaqa为等比数列常数）(2)通项公式:knknnqaqaa11(3)求和公式:)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn(4)中项公式:abG2推广：mnmnnaaa2(5)性质：a、若m+n=p+q则qpnmaaaa;b、若}{nk成等差数列（其中Nkn），则}{nka成等比数列。c、nnnnnsssss232,,成等比数列。d、11aaqnn，mnmnaaq)(nm2.判断和证明数列是等比数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证1nnaa为同一常数；(2)通项公式法；(3)中项公式法:验证212,nnnaaanN都成立；(4)若{an}为等差数列，则{naa}为等比数列（a0且a≠1）；若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a0且a≠1）。....学习参考二.典型例题：【例1】若数列}{na中，211,3nnaaa且（n是正整数），则数列的通项na练习:1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设}{na是公比为q的无穷等比数列,下列}{na的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.其中n为大于1的整数,Sn为}{na的前n项和.2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．63．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243....学习参考4．等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝8，则a5＝()A．16B．16或－16C．32D．32或－325．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是()A．mkB．m＝kC．mkD．m与k的大小随q的值而变化6．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A.12B.22C.2D．27．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝±3，ac＝98.数列}{na的前n项和22221,12nnnaaaS则_______________9.已知a+b+c,b+c－a,c+a－b,a+b－c成等比数列,公比为q,求证：....学习参考(1)q3+q2+q=1;(2)q=ca.【例2】已知数列111{},1,3(2)nnnnaaaan,写出数列{}na的通项公式练习：1、各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－122、若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0()A．必有两个不等实根B．必有两个相等实根C．必无实根D．以上三种情况均有可能3.设数列{}na的各项为正数，若对任意的正整数,nna与2的等差中项等于其前n项和ns与2的等比中项，求{}na的通项公式.....学习参考【例3】(错位相减)求和：(1)132)12(7531nnxnxxxS…练习：1.在等比数列{}nb中，S4=4，S8=20，那么S12=2．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝()A．27B．27或－27C．81D．81或－813．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220....学习参考C．216D．2154．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{a2n}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列5．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则a18a10等于()A．－23或－32B.23C.32D.23或326．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝()A．4B．2C．－2D．－47．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项8．等比数列{an}中，a10，{an}是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是__________．....学习参考9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值为__________．10．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．11．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．能力拓展提升一、选择题12．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c()A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列13．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝....学习参考2an－1，则a12等于()A．32B．34C．66D．6414．已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为()A.n－pk－nB.p－np－kC.n－kn－pD.k－pn－p15．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值是()A．4B．2C.12D.14二、填空题16．a、b、c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则三数为__________．17．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．....学习参考三、解答题18．某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元．如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值的增长率都相同，求原计划中每年的产值．19.(2010～2011·山东临清实验高中高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，当Tn最小时，求n的值；(3)求不等式Tnbn的解集．....学习参考参考答案例题1、9n-1练习1、1、4....学习参考2、B[解析]98·(23)n－1＝13，∴(23)n－1＝827＝(23)3∴n＝4.3、A[解析]∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.4、A[解析]a4＝a1q3＝q3＝8，∴q＝2，∴a5＝a4q＝16.5、C[解析]m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)20(∵an0，q≠1)．6、B[解析]设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝2，故a1＝a2q＝12＝22，故选B.7、B[解析]由条件知a2＝－bb2＝ac＝9c2＝－9b，∵a2≥0，a≠0，∴a20，∴b0，∴b＝－38、an=Sn-Sn-1=2n-1-[2n-1-1]=2n-2n-1=2n-1，an2是以a12=1为首项，4为公比的等比数列；S=4n-1/39、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列，所以q3=(a+b-c)/(a+b+c)，....学习参考q2=(c+a-b)/(a+b+c)q=(b+c-a)/(a+b+c)，q3+q2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1（2）因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列，公比为q所以(c+a-b)/(b+c-a)=q,(a+b-c)/(c+a-b)=q∴q=[(c+a-b)+(a+b-c)]/[(b+c-a)+(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.例题2、解an-an-1=3n-1将n=2,3,4,5代入得：a₂-a₁=3¹a₃-a₂=3²a₃-a₄=3³...............an-an-1=3n-1将上面的式子相加得：an-a1=3¹+3²+3³+.......+3n-1an=1+3¹+3²+3³+.......+3n-1=(1/2)(3ⁿ-1)练习1、C[解析]∵a2，12a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q0，∴q＝5＋12.∴a3＋a4a4＋a5＝a3＋a4a3＋a4q＝1q＝5－12.2、C[解析]∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac0.又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac0，∴方程无实数根．3、（an+2）/2=√(2Sn)Sn=（an+2）2/8Sn+1=（an+1+2）2/8an+1=Sn+1-Sn=an+12/8+a(n+1)/2-an2/8-an/2an+12/8-a(n+1)/2-an2/8-an/2=0an+12-4an+1-an2-4an=0a(n+1)=an+4an=-2+4n....学习参考例题3、xSn=x+3x2+5x3+7x4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn①因为Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+...+(2n-1)x(n-1)②②-①得,(1-x)Sn=1+2[x+x2+x3+x4+.....+xn-1]-(2n-1)xn(1-x)Sn=1+2[(x-xn)/(1-x)]-(2n-1)xn(1-x)Sn=1+(2x-2xn)/(1-x)-2nxn+xn(1-x)Sn=1+2x/(1-x)-2xn/(1-x)-2nxn+xn(1-x)Sn=1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xnSn={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xn}/(1-x)练习1、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。(S12-S8)/(S8-S4)=(S8-S4)/S4S12-S8=(S8-S4)2/S4=(20-4)2/4=64∴S12=64+20=842、B[解析]∵q2＝a3＋a4a2＋a1＝9，∴q＝±3，因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－273、B[解析]设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.4、A[解析]设bn＝a2n，则bn＋1bn＝a2n＋1a2n＝(an＋1an)2＝q2，∴{bn}成等比数列；2an＋12an＝2an＋1－an≠常数；当an0时lgan无意义；设cn＝nan，则cn＋1cn＝n＋an＋1nan＝n＋qn≠常数．5、D[解析]a2a10＝a5a7＝6.由a2a10＝6a2＋a10＝5，