专题十三--以圆为背景的相似三角形的计算与证明

专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析【例1】(2014玉林)如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E.(1)求证：∠1＝∠2.(2)已知：OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长．典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析解(1)证明：连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，即∠2＋∠ODC＝90°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∴∠2＋∠C＝90°，∵OC⊥OB，∴∠C＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2.典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析(2)∵OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，∴OF＝1，∵∠1＝∠2，∴EF＝ED，在Rt△ODE中，OD＝3，DE＝x，则EF＝x，OE＝1＋x，∵OD2＋DE2＝OE2，∴32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4，∴DE＝4，OE＝5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE＝90°，∵∠OED＝∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴ODAG＝DEAE，即3AG＝43＋5，∴AG＝6.典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析探究提高本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析【例2】(2014咸宁)如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若点E为的中点，AD＝，AC＝8，求AB和CE的长．AB︵325典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析解(1)证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB.典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析(2)连接BC、OE，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，即3258＝8AB，解得：AB＝10，∴BC＝102－82＝AB2－AC2＝6，∵点E为的中点，∴∠AOE＝90°，AB︵∴ADAC＝ACAB，即3258＝8AB，解得：AB＝10，∴BC＝102－82＝AB2－AC2＝6，典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，典例精析∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AF＝42，∴CE＝CF＋EF＝72.∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AF＝42，∴CE＝CF＋EF＝72.专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析探究提高此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练1.(2014荆门)如图，AB是半圆O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是()A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明B、∵AD＝DE，∴，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；题型分类·对点训练解析如图，∠ADC＝∠ADB，A、∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；AD︵＝DE︵C、∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，又∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故本选项错误．故选D.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练1.(2014荆门)如图，AB是半圆O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是()A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD对点训练D专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练2.(2014内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.1对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解析连接OD、OE，设AD＝x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD＝OD＝CE＝4－x，∴BE＝6－(4－x)＝x＋2，∵AC∥OE，∴∠A＝∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴ADOE＝ODBE，∴x4－x＝4－xx＋2，解得x＝1.6.故选B.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练2.(2014内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.1对点训练B专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练3.(2014绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是()A.AQAP＝ACABB.ACOR＝OQABC.AQAB＝BPBCD.ACAP＝OROP对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解析(1)连接AQ，如图1，∵BP为半圆O的切线，AB为半圆O的直径，∴∠ABP＝∠ACB＝90°，∵OQ⊥BC，∴∠OQB＝90°，∴∠OQB＝∠OBP＝90°，又∵∠BOQ＝∠POB，∴△OQB∽△OBP，∴OQOB＝OBOP，∵OA＝OB，∴OQOA＝OAOP，又∵∠BOQ＝∠POB，∴△OQB∽△OBP，∴OQOB＝OBOP，∵OA＝OB，∴OQOA＝OAOP，对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练∵∠AOQ＝∠POA，∴△OAQ∽△OPA，∴∠OAQ＝∠OPA，∵∠OQB＝∠ACB＝90°，∴AC∥OP，∴∠CAP＝∠APO，∴∠CAP＝∠OAQ，∴∠CAQ＝∠BAP，∵∠ACQ＝∠ABP＝90°，∴△ACQ∽△ABP，∴AQAP＝ACAB，故A正确．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(2)如图1，∵△OBP∽△OQB，∴BPQB＝OPOB，∴BPBC＝OPAB，∵AQ≠OP，∴BPBC≠AQAB，故C不正确．(2)如图1，∵△OBP∽△OQB，∴BPQB＝OPOB，∴BPBC＝OPAB，∵AQ≠OP，∴BPBC≠AQAB，故C不正确．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(3)连接OR，如图2，∵OQ⊥BC，∴BQ＝CQ，∵AO＝BO，∴OQ＝12AC，∵OR＝12AB，∴OQAC＝12，ABOR＝2，∴OQAC≠ABOR，∴ACOR≠OQAB，故B不正确．∵AO＝BO，∴OQ＝12AC，∵OR＝12AB，∴OQAC＝12，ABOR＝2，∴OQAC≠ABOR，∴ACOR≠OQAB，故B不正确．∵AO＝BO，∴OQ＝12AC，∵OR＝12AB，∴OQAC＝12，ABOR＝2，∴OQAC≠ABOR，∴ACOR≠OQAB，故B不正确．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(4)如图2，∵OQOB＝OBOP，且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，∴ACAB＝OROP，∵AB≠AP，∴ACAP≠OROP，故D不正确．故选A.(4)如图2，∵OQOB＝OBOP，且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，∴ACAB＝OROP，∵AB≠AP，∴ACAP≠OROP，故D不正确．故选A.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练3.(2014绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是()A.AQAP＝ACABB.ACOR＝OQABC.AQAB＝BPBCD.ACAP＝OROP对点训练A专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练4.(2014南宁)如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别交于点G、H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为________．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解析如图，连接OE、OF，由切线的性质可得OE＝OF，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴OECF是正方形，∵S△ABC＝12×AC×BC＝12×AC×OE＋12×BC×OF，∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC－CF＝12a，GH＝2OE＝a，∵由切割线定理可得，BF2＝BH·BG，∴14a2＝BH(BH＋a)，∴BH＝－1＋22a或BH＝－1－22a(舍去)，∵S△ABC＝12×AC×BC＝12×AC×OE＋12×BC×OF，∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC－CF＝12a，GH＝2OE＝a，∵由切割线定理可得，BF2＝BH·BG，∴14a2＝BH(BH＋a)，∴BH＝－1＋22a或BH＝－1－22a(舍去)，对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练∵OE∥DB，OE＝OH，∴△OEH∽△BDH，∴OEOH＝BDBH，∴BH＝BD，∴CD＝BC＋BD＝a＋－1＋22a＝1＋22a.∵S△ABC＝12×AC×BC＝12×AC×OE＋12×BC×OF，∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC－CF＝12