2.数论五年级奥数经典-教师版

您身边的教学专家1走美杯五年级第二讲数论一、基本公式整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5.能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以3余0或余1；反之不成立。3.除以4余0或余1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。质数和合数1.一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。2.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。注意：0和1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数；3是最小的奇质数。除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。3.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。质因数和分解质因数1.如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。2.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。3.分解质因数时，质因数应按照从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是惟一的。位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫做指数或次数。4.质因数的次数为1时，“1”省略不写。您身边的教学专家2余数定理：1.两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数的和。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以m的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.2.两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数的差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23-16=7除以5的余数等于2，即两个余数的和3-1.3.两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数的积。当余数的积比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以m的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。二、例题分析【例1】2009年“走进美妙数学花园”五年级第3题A、B都是整数，A大于B，且A×B=2009，那么A－B的最大值为，最小值为。分析：由于22009741AB，A、B都是2009的约数，要使它们的差最大，则B应最小，故1B，2009A时AB最大，此时2008AB；要使它们的差最小，则B要尽可能大，B最大可以为41，此时49A，所以AB的最小值为8.【例2】2009年“走进美妙数学花园”五年级第6题从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体木块的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的6个数是。分析：20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19.显然2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3，5，7，11，13，17，19这7个数。从中选择6个，相当于从中剔除1个。由于这7个数的和为3571113171975，是3的倍数，而选出的6个数之和也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3。所以选出的6个数是：5，7，11，13，17，19.【例3】2011年“走进美妙数学花园”五年级第9题五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是______.解析：令和最小，则考虑高位最小，考虑个位关系在1，3，5，7，9上。一位数不可能，两位数高位为1时不可能，高位为2时，可以找到24，25，26，27，28，则其和是130【例4】2012年“走进美妙数学花园”五年级第4题学校参加体操表演的学生人数在60~100之间。把这些同学按人数平均分成8人一组，或平均分成12人一组都正好分完。参加这次表演的同学至少有______人。您身边的教学专家3【例5】2012年“走进美妙数学花园”五年级第8题200到220之间有唯一的质数，它是______。【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【【解解析析】】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678，并且小于13(61)91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583．三、作业1、甲数=2×3×7×A，乙数=2×5×7×A，当A=（）时，甲、乙两数的最大公约数是42。A=3根据定义来做2、已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，若A=90，则B=。B=60短除法3、自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解析：1+2+3+…+8+9＝10×9÷2=45,45是3和9的倍数，所以123456789是3和9的倍数，是合数。4、三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个自然数的和是多少？解析：39270=2×3×5×7×11×17=33×34×35，33+34+35=102.5、一个数是5个2，,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数中，最大的是几？解析：从99开始分解质因数，99=3×3×11，98=2×7×7,97是质数，96=2×2×2×2×2×3，最大96.您身边的教学专家46、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】(法1)39336，1473144，(36,144)12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12．