小升初第三讲——专题训练之数论问题

1小升初专项训练---数论数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数的整除特征及整除性质3、余数的性质、同余问题4、位值原理5、最值问题知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1.质数与合数突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数(1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。(2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数2约数与倍数公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。23．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。其中2、3、7叫做42的质因数。又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。4、要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。（2）质数有无限多个，最小的质数是2。（3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。（4）合数有无限多个。最小的合数是4。（5）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。知识点二：数的整除特征及整除性质突破要点——牢记特征是关键，常见特征背5遍，先看末尾再看和，然后分段求结果。数的整除特征（1）2末尾是0、2、4、6、8（2）3各数位上数字的和是3的倍数（3）5末尾是0或5（4）9各数位上数字的和是9的倍数（5）11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数（6）4和25末两位数是4（或25）的倍数（7）8和125末三位数是8（或125）的倍数（8）7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数知识点三：余数的性质、同余问题1.带余除法一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r当r=0时，我们称a能被b整除。3当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r2.同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。知识点四：位值原理知识点五：最值问题知识点六：数论解题的常用方法枚举、归纳、反证、构造、配对、估计题目类型一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数例题1：甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是。例题2：两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？4练习1：五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是.练习2：长方体的右面和上面的面积之和为91平方厘米，它的长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积为（）立方厘米或（）立方厘米。题目类型二：数的整除特征及整除性质例题：有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。练习1、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？练习2、在所有的三位数中，是7的倍数，但不是2、3、4、5、6的倍数的数有＿＿个。题目类型三：余数的性质、同余问题例题140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是.练习1、有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.练习2、某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.题目类型四：位置原理例题：如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。练习1：AABB表示一个完全平方数，A、B代表什么数字时，这个四位数是完全平方数。符合条件的四位数是___________5练习2：将三位数ab3重复写下去，一共写1993个ab3，所得的数正好能被91整除，求ab.题目类型五：最值问题例题：甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。练习1：将整数19分成多个整数的和，且使这些整数的乘积最大，那么乘积的最大值是______练习2：已知2009乘以整数A所得结果的最后五位全为9，那么满足此条件的最小整数是_______.基础演练1、有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？2、在2009后面补上三个数字，组成一个七位数2009□□□，使得这个七位数能被2，3，4，5，6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是_______。3、一本书，如果每天读50页，那么5天读不完，6天又有余；如果每天读70页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读n页，恰可用n天读完（n是自然数）．这本书的页数是______．4、有一个四位数，其各数位上的数字各不相同，且没有“0”，变换这个数的数字排列位置时，得到的所有的数里面最大的数与这个数的差是3618，最小的数与这个数的差是4554，那么此四位数是6、能被99整除且各位数字均不相同的最大自然数是______67、有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。8如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。9、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。巩固提高1、a,b,c三个数都是两位数，且abc，已知它们的和是偶数，它们的积是3960，则a,b,c三个数分别是2、13张卡片上分别写着1，2，3，4，…，13，任意抽取两张，计算这两张卡片上数的乘积，这样得到许多不相等的乘积，这些不同的乘积中有____个能被6整除。3、1919…19（共20个19）除以99，余数是多少？4、某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到人.5、已知N是一个各位数字互不相等的自然数且N中不含数字7，它能被它的每个数字整除，则N的最大值是_______6、用长为45厘米、宽为30厘米的一批瓷砖，铺成一个正方形，至少需要瓷砖的块数为（）。7、有一些长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，如果用这些木块组成一个正方体，则至少需要这种木块（）块。1、用10以内的质数组成一个最大的三位数，它既含有约数2，又是3的倍数，这个数是____。72、已知a，b，c都是正整数，a，b，c的最大公约数为24，a，b的最小公倍数是360；a，c的最小公倍数是144.（1）求b的最小值。（2）若b，c的最小公倍数为240，求a，b，c的值。3、现有一个2009位的整数：669101102009101101.....10110个与组成的位，被13除的余数为a,被11除的余数为b，那么a+b=_______4、a、b、c为三个自然数，且abc，它们除以13的余数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数是_______5、对四位数abcd，若存在质数p和正整数k，使kabcdp，且5pabcdp，求这样的四位数的最小值，并说明理由.6、一个整数各个数位上的数字之和是17，而且各个数位上的数字都不相同，符合条件的最小数是（），最大数是（）7、将一个长和宽分别是170.3厘米和65.5厘米的长方形切割为一些正方形，至少需要切割（）刀。______________________________________________________________________________________________________________________________________________________81、有一组连续的三个正整数，从小到大依次排列，第一个数是5的倍数；第二个数是7的倍数；第三个数是9的倍数；则这组数中最小的正整数为__________。2、、把一个自然数的所有的约数都写出来，然后在这些约数中任意找两个相加，这样就可以得到若干个不同的和，其中最小的和是4，最大的和是140。那么，这个自然数是____。3、一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上的3看成了8，结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是，除数是。4、有一堆苹果，三个三个地数、四个四个地数、五个五个地数都余2个，这堆苹果最少有（）个.5、若相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，则在等式：，所表示的六位数是课程顾问签字：教学主管签字：