七下实数辅导讲义(一)终极版

0)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、实数第六章实数辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。即：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。（2）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；②0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。（5）a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。（6）公式：(a)2=a（a≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“3a”表示，读作“三次根号a”。（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：1负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身，②一个负数的绝对值是它的相反数，③零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。注意：题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、a本身为非负数，有非负性，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。4、公式：⑴(a)2=a（a≥0）；⑵3a=3a（a取任何数）。5、区分(a)2=a（a≥0），与2a=a6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。7.一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如502500,5258、.识记常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=0000aaaaaa00002aaaaaaa29.易混淆的三个数（自行分析它们）：（1）2a（2）2)(a（3）33a10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：2≈___________3≈___________5≈___________6≈___________7≈___________【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为a3和32a，求这个数？变式1、已知12a和2a是m的平方根，求m的值？变式2、已知某个数的平方根分别为3a和152a，求a和这个数？例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由①（-3）2②02③-0.012（2）下列说法对不对？为什么？①4有一个平方根②只有正数有平方根③任何数都有平方根④若a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数例3、求下列各数的平方根：(1)9(2)(3)0.36(4)变式3、.下列语句中，正确的是（）A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．一个实数的立方根不是正数就是负数D．立方根是这个数本身的数共有三个变式4.下列说法正确的是（）A．-2是（-2）2的算术平方根B．3是-9的算术平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±3题型三、化简求值例1、已知30x，化简：5)12(2xx变式1、若21,011）（化简：xxx例2已知,,abc实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()aabcabc变式2、实数a在数轴上的位置如图所示,化简:2)2(1aa=141693a200a变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（）A.5－2B.2－5C.5－3D.3－5例3、当a0时，化简的结果是()A0B-1C1D½例4、化简下列各式：(1)|-1.4|(2)|π-3.142|(3)|-|【变式1】化简：题型四、利用非负数的性质求代数式三种常见的非负数：注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.例1、已知实数x，y满足2x+(y+1)2=0，则x-y等于【变式1】已知a、b是有理数，且满足（a－2）2+3b=0，则ab的值为【变式2】已知那么a+b-c的值为___________【变式3】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。0(0)aa4求被开方数中的未知数的值例2若y=5x+x5+2017，则x+y=变式1、若11xx2()xy，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．3变式2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值变式3、已知2322234aab,求ba11的值？题型五、解方程(1)04)2(2x(2)027)3(3x(3)0125273x(4)25)12(2x题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是10的整数部分，y是10的小数部分，求110xy（）的平方根。变式1设m是137的小数部分，n为137的小数部分，求2017)(nm的值？题型六关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）81；（2）16；（3）259；（4）2)4(.102.22的值，求，小数部分是的整数部分是、已知变式baba5解（1）因为8192，所以±81=±9.例2（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个题型八、探索找规律1（盐城市）现规定一种新的运算“※”：a※b=ab，如3※2=32=9，则12※3＝（）2(资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为()A．5049B．99!C．9900D．2！3．如果有理数a,b满足∣ab－2∣+∣1－b∣=0，试求)2)(2(1)1)(1(11babaab+…+)2016)(2016(1ba的值．4.观察思考下列计算过程：∵112=121，∴121=11；同样：∵1112=12321，∴12321=111；…由此猜想：76543211234567898=题型八实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a-b﹥0时，得到a﹥b。当a-b﹤0时，得到a﹤b。当a-b＝0，得到a=b。例1、比较1-2与1-3的大小。3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当ba＜1时，a＜b；当ba＞1时，a＞b；当ba=1时，a=b。来比较a与b的大小。例2、比较8313与81的大小。4、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由2a＞2b得到a＞b来比6较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较27与33的大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4、比较8313与81的大小。综合演练一、填空题1、（-0.7）2的平方根是2、若2a=25,b=3,则a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是4、43＝____________5、若m、n互为相反数，则nm5＝_________6、若aa2，则a______07、若73x有意义，则x的取值范围是8、16的平方根是±4”用数学式子表示为9、大于-2，小于10的整数有______个。10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。11、当_______x时，3x有意义。12、当_______x时，32x有意义。13、当_______x时，x11有意义。14、当________x时，式子21xx有意义。15、若14a有意义，则a能取的最小整数为二、选择题1．9的算术平方根是（）A．-3B．3C．±3D．812．下列计算正确的是（）7A．4=±2B．2(9)81=9C.636D.9923．下列说法中正确的是（）A．9的平方根是3B．16的算术平方根是±2C.16的算术平方根是4D.16的平方根是±24．64的平方根是（）A．±8B．±4C．±2D．±25．4的平方的倒数的算术平方根是（）A．4B．18C．-14D．146．下列结论正确的是（）A6)6(2B9)3(2C16)16(2D2516251627．以下语句及写成式子正确的是（）A、7是49的算术平方根，即749B、7是2)7(的平方根，即7)7(2C、7是49的平方根，即749D、7是49的平方根，即±7498．下列语句中正确的是（）A、9的平方根是3B、9的平方根是3C、9的算术平方根是3D、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3是9的平方根；(2)9的平方根是3；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．4个10．下列语句中正确的是（）A、任意算术平方根是正数B、只有正数才有算术平方根C、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D、1是1的平方根三、利用平方根解下列方程．（1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0；四、解答题1、求972的平方根和算术平方根。2、计算33841627的值83、若0)13(12yxx，求25yx的值。4、若a、b、c满足01)5(32cba，求代数式acb的值。5、已知052522xxxy，求7（x＋y）－20的立方根。