浅谈集合题型中的几个误区

1、用心爱心专心1浅谈集合题型中的几个误区左长城集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。下面谈谈解集合题型的几个误区：误区1：把握集合元素形式例1、设集合A＝｛平面上的直线｝，B＝｛平面上的圆｝，则AB中的元素最多有个．错解：由直线与圆的位置关系可知，最多有２个故填２。错因分析：上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了。正解：集合Ａ中的元素形式是直线，集合Ｂ中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什么呢？故填０个。例2、设集合A＝{y∣y＝2x＋1，xR}，B＝{x∣y＝x＋2}求Ａ∩Ｂ．错解：显然Ａ＝｛y∣ｙ≥１｝。

2、Ｂ＝｛x∣ｙ≥２｝．所以A∩B=B．用心爱心专心2错因分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B中的元素为x,是表示函数的定义域。正解：A＝{ｙ∣ｙ≥1}B＝{x∣x≥0}，所以故A∩B=A妙招：要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算。解题时应认真领会，以防出错．误区2：检验集合中元素的互异性例３、集合A={１，3，a}，B={１，2a－a＋１},且AB，求a的值．错解：经过分析知，若2a－,31a则2a,02a即1a或2a．若2a,1aa则2a,012a即1a．从而a＝－１，１，２．正解：经过分析知，若2a－,31a则2a,02a即1a或2a．若2a,1aa则2a,012a即1a．从而a＝－１，１，２．而当a＝１时，Ｂ中有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去，故a＝－１，２．例４、。

3、设Ａ＝｛ｘ∣2x＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为－（ｂ＋２）。错解２：由2x＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋用心爱心专心3１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1＝x2＝－１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ０时，ｘ1＋x2＝－ｂ－２．错因分析上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．正解：集合Ａ中的元素是方程的根，由于22)1(4)2(bbb，故当ｂ＝０时，方程有二重根－１，由集合中元素的互异性，集合Ａ＝｛－１｝，所以元素之和为－１；当ｂ０时，ｘ1＋x2＝－ｂ－２．妙招：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．要注意分类，注意求得结果后再代入检验。误区３：牢记空集的特殊性例５、设集合Ａ＝｛ｘ∣2x－２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛x|ax-1=0｝，且ＡＢ＝Ｂ，求实数a的值。错解：由Ａ＝｛３，－１｝Ｂ＝｛a1｝又ＡＢ＝Ｂ故ＢＡ所以131或a错因分析忽视了Ｂ＝的情形．正解：由Ａ＝｛３，－１｝，Ｂ集合是方程ax。

4、-1=0的根，当a＝０时，方程无根，此时集合Ｂ为空集，满足题意。当a不为０时，Ｂ＝｛a1｝所以131或a综合可得131或a或０。例６、已知41|xxA，121|mxmxB，当AB求实数m的取值范围。用心爱心专心4错解：要使AB，应有41211121mmmm解得：252m.错因分析：错解忽略了B时的情况，因为当B时，AB亦成立。正解：（1）当B时，由错解可得：252m。（2）当B时，121mm，解得：2m，所以m的取值范围为：25m。妙招：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件下均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑。误区４：挖掘隐含条件例７、设全集Ｕ＝｛２，３，2a＋２a－３｝，Ａ＝｛∣２a－１∣，２｝，ACU＝｛５｝，求实数a的值．错解：∵ACU＝｛５｝，∴５Ｕ且５Ａ，从而，2a＋２a－３＝５，解得a＝２，或a＝－４．错因分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为。

5、Ｕ是全集，所以首先必须满足ＡＵ．正解：当a＝２时，∣２a－１∣＝３Ｕ，符合题意；当a＝－４时，∣２a－１∣＝９U，不符合题意；故a＝２．妙招：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的用心爱心专心5细节，养成细心、规范解题的好习惯。误区５：注意等价转换例８、设集合Ｍ＝111|),(xyyx，Ｎ＝1)1(,yxayx，且NM，求实数a.错解：集合M表示直线y=x-2上的点的集合，集合N表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。又NM（即两直线平行时），故1-a=1，即a0。错因分析：将集合M转化为直线y=x-2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）。正解：集合M表示直线y=x-2上的不包括点（１，－１）的点的集合，集合N表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。又NM（即两直线平行时），故1-a=1，即a0。或当集合N表示的直线过这个点时，也符合NM，所以把点（１，－１）代入直线y=(1-a)x+1，解得a=3。故a=0或3。妙招：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转。

6、化不等价，就会导致错误。解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。非常熟练三种语言的相互转化。误区６：理解符号的含义例9.如图所示，A、B是两个非空集合，定义BxAxxBA且|，则Ａ－（Ａ－Ｂ）是下图中的（）用心爱心专心6A.IB.IIC.IIID.IIIIII错解：因Ａ－（Ａ－Ｂ）表示属于Ｂ而不属于Ａ，应选C。错因分析：上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使Ａ－（Ａ－Ｂ）在迁移运用时出现错误。正解：Ａ－（Ａ－Ｂ）的正确理解应是属于Ａ而不属于集合Ａ－Ｂ，而A-B为图中的区域I，故Ａ－（Ａ－Ｂ）应为图中的区域II，应选B。妙招：集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对于某些新定义的集合问题，需要准确把握即时定义，理解定义中新符号的含义，“以旧带新”实现问题的转化。以上就是学习集合必须注意的六个误区，把握住这些误区，就能跳出陷阱，做到高考“集合送分题，一分不会少”。。