测量电源电动势和内阻实验数据处理与误差分析及典型例题

1选修3-1“测定电源电动势和内阻”实验的误差分析与比较在中学物理实验室里，测定电源电动势和内阻的方法有多种，可以用一只电压表和一只电流表，也可以用一只电流表和一只电阻箱，或者用一只电压表和一只电阻箱，它们的测量原理都是闭合电路欧姆定律。但由于电表有内阻，以上方法都存在一定的系统误差，但是误差的情况不一样，下面就这几种测定方法的误差进行分析和比较。一、【电流表外接法】这是课本上的学生实验电路图，只要测出两组U、I的值，就能算出电动势和内阻。对电路的接法可以这样理解：因为要测电源的内阻，所以对电源来说用的是电流表外接法，对外部电路电阻R来说却是内接法。【分析方法1】计算法：根据闭合电路欧姆定律，其测量的原理方程为：其中U、I分别是电压表和电流表的示数，通过调节滑动变阻器，改变路端电压和电流，这样就得到多组数据，每两组数据就可以求出电动势和内阻。设某两组U、I的值的大小关系为：U1U2，I1I2。解得：，由于电压表的分流作用，电流表的示数I不是流过电源的电流I0，有II0，那么测得的电动势E和内阻r与真实值比较是偏大还是偏小呢？设电压表的内阻为RV，用E0表示电动势的真实值，r0表示内阻的真实值，则方程应修正为：解得：，可见电动势和内阻的测量值都小于真实值。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2以上是定量计算分析，还可以利用电源的伏安特性曲线来定性分析。【分析方法2】图像法：根据闭合电路欧姆定律，其测量的原理方程为：E=U+Ir式中的U是路端电压,通过电源的电流I实，测量值和真实值的比较误差来源：电压表分流作用I实=IA+IV=(IA+VRU)I实-IA=IV=VRU(1)可见：U越小，差值(I实-IA)就越小。短路时U=0时，差值(I实-IA)也为0。电流表外接法实际的U-I图线中短路电流相等。U越大，差值(I实-IA)就越大，当U相同时（不等于0），通过电源的电流I实总在测量电流IA的右边，这样电动势的测量值E测就会在电源电动势真实值E真的下方，如图2所示。即E测E真。测量值图形的斜率就较小，而图形的斜率值就等于电源内阻。所以r测r真。由（1）式知道电压表的内阻越大，流过电源的电流与流过电流表的电流相差越小，越准确。所以该电路实验器材应选用要求是滑动变阻器阻值小，电压表内阻大，电源内阻很小。这样分流效果就不明显。【分析方法3】等效法：把电压表和电源等效为一新电源，如图3虚线框所示，这个等效电源的内阻r为r0和RV的并联电阻，也就是测量值，（越并越小）即等效电源的电动势为电压表和电源组成回路的路端电压，也就是测量值，（把电压表当成与电源串联，电压按比例分配），即图33或者可以认为因为电阻并联后阻值变小所以内阻的测量值偏小。rIUE测测因此电动势的测量值也偏小。可见电流表外接法电动势和内阻的测量值都小于真实值。由以上分析还可以知道，要减小误差，所选择的电压表内阻应适当大些，使得。【实验方法拓展一】：伏阻法教科书上介绍了用电压表和电阻箱测电源电动势和内阻，电路如图a所示。调节R，测出两组U、R的值，就能算出电动势和内阻。其测量的原理方程为：其中U是电压表示数，R是电阻箱示数。这种方法产生的系统误差和图1是一样的，因为上式中的就相当于图1中的电流表所测的流过变阻器的电流I，误差产生的原因还是由于电压表的分流，的值并不是流过电源的电流，而只是流过R的电流。由【分析方法3】等效法，将电压表与电源并联后等效为新电源的分析可知，最终测得的电动势和内阻的测量值也．．．．．．．．．．．．．．都小于真实值。．．．．．．．图a4二、【电流表内接法】既然以上方法都存在系统误差，那么将电流表接到如图4所示的位置，即对电源来说是电流表内接，对外部电路电阻R来说却是外接法。【分析方法1】计算法：根据闭合电路欧姆定律，其测量的原理方程为：其中U、I还是电压表和电流表的示数，通过调节滑动变阻器，同样可以得到多组数据，每两组数据就可以求出电动势和内阻。设某两组U、I的值的大小关系为：U1U2，I1I2。解得：，由于电流表的分压，电压表的示数U不是电源的路端电压U0，有UU0，设电流表的内阻为RA，用E0表示电动势的真实值，r0表示内阻的真实值，则方程应修正为：解得：，可见电动势的测量值等于真实值，而内阻的测量值大于真实值。5以上是定量计算分析，也可以利用电源的伏安特性曲线来定性分析。【分析方法2】图像法：根据闭合电路欧姆定律，其测量的原理方程为：E=U+Ir式中的U是路端电压,通过电源的电流I实，电流表法实验中电源的电动势和内阻测量值和真实值的比较误差来源U应是电阻R两端电压UR，但电流表分压作用。U路=UA+UR=(I*RA+UR)U路-UR=UA=I*RA可见：I越小，差值IRA就越小。当I=0时差值为才为0，测量电动势就与真实电动势相等。然而，真实的路端电压总大于电压表的示数UR。对于任意一个I值（I不等于0）U测总在U真的下方，即测量图形的斜率就偏大。实际的U-I图线如图5虚线示：所以E测=E真r测=rA+rr真由以上分析还可以知道，要减小误差，电流表的内阻需很小，使得RAr，这个要求在实验室测定干电池的内阻时是很难满足的。【分析方法3】等效法：把电流表和电源等效为一新电源，如图4虚线框所示，这个等效电源的内阻r为r0和RA的串联总电阻，也就是测量值，即等效电源的电动势为电流表和电源串联后的路端电压，也就是测量值，即6【实验方法拓展三】：安阻法教科书上介绍了用电流表和电阻箱测电源电动势和内阻，电路如图6所示。调节R，测出两组I、R的值，就能算出电动势和内阻，其测量的原理方程为：其中I是电流表示数，R是电阻箱示数。这种方法产生的系统误差和图4是一样的，因为上式中的就相当于图4中的电压表所测的变阻器两端的电压U，误差产生的原因还是由于电流表的分压，的值并不是电源的路端电压，而只是R两端的电压。由【分析方法3】等效法，将电流表与电源串联后等效为新电源的分析可知，最终测得的电动势的测量值．．．．．．．．等于真实值，而内阻的测量值大于真实值。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．综上，虽然第二种实验方法电动势的测量值等于真实值，但由于电源本身内阻较小，而这种方法得到的内阻的测量值，实验相对误差很大，所以综合考虑，还是采用第一种实验方法较好。7【例1】在做测量干电池的电动势和内电阻的实验时，备有下列器材供选用：A．干电池一节（电动势约1．5V）B．直流电流表（量程0～0．6～3A，．0．6A挡内阻0．10Ω，3A挡内阻0．025Ω)C．直流电压表(量程0～3～15V，3V挡内阻5KΩ，15V挡内阻25KΩ)D．滑动变阻器(阻值范围0～15Ω，允许最大电流1A）E．滑动变阻器(阻值范围0～1000Ω，允许最大电流0．5A)F．开关G．导线若干根H．电池夹(1)将按本实验要求选定的器材(系统误差较小)，在下图9所示的实物图上连线．(2)如图10所示，电流表指针停止在图10(1)所示位置，量程取0．6A挡时读教为；量程取3A挡时读数为．电压表指针停在图10（2)所示位置，量程取3V挡时读数为；取量程为15V挡时读数为(3)根据实验记录，画出的U-I，图象如图11所示，可得待测电池的内电阻r为．【解析】本例是典型的U-I法测电源电动势和内电阻，且运用图象处理数据．(1)连接图如图12所示．由于电路中的电压为1．5V，电路中的电流不超过0．6A，因此，电压表应选0～3V量程，电流表应选择0—0．6A量程．为了使电流值可调范围大一些，滑动变阻器应选择0～图9图10图11815Ω，为了减小误差，采用电流表内接法．(2)电流表读数在0．6A挡时，I=0．28A，在3A挡时，I=1．40A，电压表读数在3V挡时，U=1．30V，在15V挡时，U=6．50V．(3)69.013.045.018.140.1IUrΩ【例2】用电流表和电压表测定电池的电动势E和内电阻r．所用的电路如图所示．一位同学测得的数据组如下表中所示．(1)试根据这些数据在图中作出U-I图象．(2)根据图象得出电池的电动势E=V，电池的内电阻r=Ω．(3)若不作出图象，只选用其中两纽U和I数据，可利用公式E=U1+I1r和E=U2+I2r算出E和r，这样做可能得出误差很大的结果，选用第组和第组的数据，求得的E和r误差最大．【解析】如图13所示，作图象时应把个别不合理的数据排除．由直线与纵轴的交点可读出电动势E=I．45V，再读出直线与横轴的交点的坐标(U，I)，连同得出的E值代入E=U+Ir中，得69.065.000.145.1IUEr选用第3组和第4组数据求得的E和r误差最大，不需要利用所给的6组数据分别进行计算，利用作图就可看出这一点．选用这两组数据求E和r，相当于过图中3和4两点作一直线，利用此直线求出E和r，而此直线与所画直线偏离最大．实际上，第4组数据不合理，已经排除．图129【例3】一种供实验使用的小型电池标称电压为9V，电池允许最大输出电流为50mA，为了测定这个电池的电动势和内阻，用图15所示电路进行测量(图中电压表内阻很大，可不考虑它对测量的影响)，R为电阻箱，阻值范围为0～9999,R0是保护电阻．(1)实验室里备用的定值电阻有以下几种规格：A．10Ω，5WB．150Ω，O．5WC．200Ω，0．25WD．1．2kΩ，1W实验时，R0应选用较好．(2)在实验中当电阻箱调到图16所示位置后，闭合开关S，电压表示数9．0V，变阻箱此时电阻为．电路中流过电阻箱的电流为mA．(3)断开开关，调整电阻箱阻值，再闭合开关，读取电压表示数，多次测量后，做出如上图17所示图线，则该电池电动势E=V，内阻r=．【解析】(1)保护电阻R0的选择关系到能否控制电源的输出电流在50mA以下，取电阻箱电阻R=0，则R0+r=E/IMaX=180Ω。实验室里备用的定值电阻150Ω(B)和200Ω(C)均接近180Ω，比较它们的额定电流，IB=0．058＞ＩＭａＸ故应选电阻B作为保护电阻，即R０=150Ω选B．(2)电阻箱的读数为750Ω，通过电阻箱的电流为：Ｉ０=U/（R+R0）=0．01A=10mA(3)延长U-I图线，与纵轴的交点即电流电动势，E=9．5V，电源内阻r=ΔU／ΔI=50Ω【点评】实际测量电路中往往接有保护电阻，选择保护电阻，不仅要看电阻的大小，还要看允许通过的电流．本题采用U-R法的测量电路测量电源电动势和内阻，在处理数据时采用U-I法的处理方法．U-I图线上各坐标点的电流值是由U/（R+R0）得到的．10【例4】现有一阻值为10Ω的定值电阻、一只开关、导线若干及一只电压表，该电压表表面上有刻度但无刻度值．要求设计一个能测定某电源内阻的实验方案(已知电压表内阻很大，电压表量程大于电源电动势，电源内阻约为几欧)．要求：(1)画出实验电路图．(2)简要写出完成接线后的实验步骤．(3)写出用测得的量计算电源内阻的表达式r=【解析】(1)实验电路如图18所示．(2)实验步骤如下：①断开开关，记下电压表偏转格数N1；②合上开关，记下电压表偏转格数N2；③电源内阻按下列公式计算：r=（N1-N2）R/N2（R=10Ω）(3)由于电压表内阻很大，因此当断开开关S时测得的路端电压U等于电源电动势．设电压表每格的电压值为U0，则有E=U1=NlU0①同样，由于电压表的内阻很大，在合上开关S后，外电路的总电阻可以认为等于R=10Ω，因此有E=U2+U2r/R=（N2+N2r/R）U0②联立①、②两式得r=（N1-N2）R/N2【例5】现有器材：量程为10．0mA，内阻约为30-40Ω的电流表一个，定值电阻R1=150Ω，定值电阻R2=100Ω，单刀双掷开关S，导线若干．要求利用这些器材测量一干电池(电动势约1．5v)的电动势．(1)按要求连接实物图(下图20)．【解析】利用一只电流表和两只定值电阻来测量干电池的电动势，基本的原理是改变外电路的电阻，得到两组电流值．根据闭合电路欧姆定律，得到一个关于电源电动势和内阻的二元一次方程组，解方程组即可求得电动势．由给