第三章-高斯光束的传输与变换

激光物理第三章高斯光束的传输与变换方形镜共焦腔的行波场（厄米-高斯光束）当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦腔中的行波场可以表示为：22(,,)0()022(,,)()()()rixyzzmnmnmnExyzAEHxHyeezzz只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行波场的表达式还可推广到腔外整个空间。回顾1.高斯光束的基本性质及特征参数2.高斯光束的传输变换规律3.高斯光束的聚焦和准直4.高斯光束的匹配与自再现3.1高斯光束的基本性质及特征参数c为常数因子fzarctgRrzkizreezczyx)2()(00222)(),,(ffzfzzffzfzfzzRRfzzkyxr0202220222,)(1)(1)(23.1.1基模高斯光束沿z轴方向传播的基模高斯光束,不管它是由何种结构的稳定腔所产生的,均可表示为如下的一般形式:由一般稳定球面腔(R1、R2、L)所产生的高斯光束，参数ω0及f与R1、R2、L的关系为221212122212121240)2())()(()2())()(()(LRRLRRLRLRLfLRRLRRLRLRLffzfzzffzfzfzzRRfzzkyxr0202220222,)(1)(1)(23.1.2基模高斯光束在自由空间的传输规律高斯光束具有下述基本性质：(1)基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的1/e的点所定义的光斑半径为22002011)(zfzz可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。22002011)(zfzz（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定当z=0时,R(z)→∞,表明束腰所在处的等相位面为平面;当z=±∞时,|R(z)|≈|z|→∞,表明离束腰无限远处的等相位面亦为平面,且曲率中心就在束腰处;当z=士f时,|R(z)|=2f,且|R(z)|达到极小值;当0zf时,R(z)2f,表明等相位面的曲率中心在〔-f~∞〕区间上;当zf时,zR(z)z+f,表明等相位面的曲率中心在〔-f,0〕区间上。fzarctgRrzkzyx)2(),,(2002201)(zzzR表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面22;2xykzkzRR标准球面波相移高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀球面波。其曲率中心随着传输过程而不断改变,但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性,且其等相位面始终保持为球面。(3)基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角为ffzzz128.126367.02)(2lim000当光束从束腰传播到处时，光束半径，即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度（共焦参数），通常记作。在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式f=𝝅𝝎𝟎𝟐/𝝀可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。0zz0()2zf（4）瑞利长度20f22002011)(zfzz3.1.3基模高斯光束的特征参数（1）用参数ω0(或f)及束腰位置表征高斯光束ffzfzzffzfzfzzRRfzzkyxr0202220222,)(1)(1)(2只要确定了束腰的位置和半径ω0，就可以确定任何位置的光束半径和等相位面半径等参数。（2）用参数ω（z）和R（z）表征高斯光束当确定了某一确定位置z处的ω(z)和R(z)后，也可以求出束腰位置及大小；12220122()()1()()()1()zzRzRzzRzz（3）高斯光束的q参数可以求得：令q0=q(0)，则：通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题来灵活选择使用哪种参数。211()()()iqzRzz20002011(0),(0)(0)(0)iRqiifqR211Re()()11Im()()Rzqzzqz2.9.4高阶高斯光束（1）厄米特—高斯光束高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的乘积来描述。沿z方向传输的厄米卢高斯光束式中ω=ω(z)、R=R(z)的意义与以前一样,分别表示m阶和n阶厄米多项式。fzarctgnmqrzkinmmnfzarctgnmRrzkirnmmnmneyHxHCeeyHxHCzyx)1()2()1()2(2222)2()2(1)2()2(1),,()2(xHm)2(yHn厄米-高斯光束沿z方向有m条节线,沿y方向有n条节线;沿传输轴线相对于几何相移的附加相位超前随阶数m和n的增大而增大。可以推论,其z方向和y方向的光腰尺寸在z处的光斑尺寸为式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y方向的远场发散角fzarctgnmmn)1(202202)12()12(nmnm)()12()()()12()(202202znzzmznm000012212)(2lim12212)(2limnnzzmmzznznmzm（2）拉盖尔·高斯光束在柱对称稳定腔阪(包括圆形孔径共焦腔)冲中,高阶横模由缔合拉盖尔多项式与高斯分布函数的乘积来描述,沿z方向传输的拉盖尔-高斯光束可表为如下的一般形式:与基模高斯光束比较,柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布由函数描述,它沿半径r方向有n个节线圆,沿辐角伊方向有m根节线;而拉盖尔-高斯光束的附加相移为mmeerLrCzrfzarctgnmRrzkirnmmmnmnsincos)2()2(),,()1()2(22222mmerLrnmsincos)2(2222fzarctgnmmn)12(可见Δφmn随n的增加比随m更快。光斑尺寸)()12()(znmzmn发散角012nmmn1.结合右图，写出w0,ws,f,θ的表达式，并说明他们的意义分别是什么(P70-71)2.结合右图，说明高斯光束等相位面具有什么性质，并说明其变化规律。(P71)2201)(zzfzzffzR3.2高斯光束的传输变换规律3.2.1普通球面波的传播规律1()Rz2()RzLz1z2zox1.通过长度为L的自由空间121211()()()()()RzzRzRzzzRzL21111()()RzRzF121()/1RRzRF2.通过焦距为F的薄透镜R1(z)R2(z)F球面波波前曲率半径变化规律光线传输矩阵自由空间121211()()()()()RzzRzRzzzRzL121()/1RRzRF薄透镜101L101/1F将两式与光线矩阵相比较可以得到球面波的传播规律：121()()()ARzBRzCRzD3.2.2高斯光束q参数的变换规律211()()()iqzRzz220222020()1()1Rzzzzz其中高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参数：1.自由空间传播(2)带入(1)整理表达式可以得到：可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为：其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分别为z1和z2面处的q参数。200()qzizqz(1)(2)21211()()()()qzqzzzqzL与普通球面波式形式上一样由薄透镜性质可知，在紧靠薄透镜的M1和M2两个面上的光斑大小和强度分布是一样的，即：可以证明经过薄透镜变换后在像方继续传输的光束仍为高斯光束。（P76）从q参数表达式以及1式可以得到：R2为等相位面曲率半径，由球面波球率半径的变换公式可得。R1R2l'l00'1M2M1()l2()lZ=012()()(1)ll2.通过薄透镜2212222111()iiqzRR21111111()iRFqzF21211()()()()qzqzzzqzL2212222111()iiqzRR21111111()iRFqzF无论是对在自由空间的传播或对通过光学系统的变换,高斯束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R一样的作用,又将q参数称为高斯束的复曲率半径。q参数的变换规律可用下式统一表示：自由传播薄透镜121()()()AqzBqzCqzD当𝝀→𝟎时，波动光学过渡到几何光学，此时q→𝐑。按照光线矩阵规则，ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取：可以证明，高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，则以规则称为高斯光束q参数变换法则，简称ABCD法则。需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述，但是高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法。高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束。121AqBqCqD经过两个光学元件的高斯光束设两个光学元件的光线矩阵为入射高斯光束参数为q1，经过第一个光学元件后有：经过第二个光学元件后：其中：其规律与光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。11221122,ABABCDCD1112111qABqqCD222132221TTTTqABqABqqCDqCD11221122TTTTABABABCDCDCD3.2.3高斯光束在透镜波导中的传播光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经过S个周期后，联系S＋1面和第1面的光线矩阵是：其中：STTTTDCBADCBAsin()sin[(1)]sinsin()sin;cossin()2sinsin()sin[(1)]sinTTTTAssABsBADCsCDssD221212121211111dAFdBdFdCFFFdddDFFF用数学归纳法可以证明高