喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间

EX1.矢量空间练习1.1试只用条件（1）~（8）证明2，0和1（）。（完成人：梁立欢审核人：高思泽）证明：由条件（5）、（7）得11112（）只需证明0和)1(这两式互相等价根据条件（7）00)00(0现在等式两边加上)0(，得)0()00()0(0根据条件（4），上式左)0(0根据条件（4）、（2）上式右00)00(00由0，根据条件（4）、（7）得)1()11(0)1(#练习1.2证明在内积空间中若,,21对任意成立，则必有21。（完成人：谷巍审核人：肖钰斐）证明由题意可知，在内积空间中若,,21对任意成立，则有1,－2,=0(1)于是有0,21(2)由于在内积空间中,,21对任意成立，则可取21,则有2121,=0成立（3）根据数乘的条件（12）可知，则必有021（4）即21故命题成立，即必有21.#练习1.3矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。（完成人：赵中亮审核人：张伟）解：矢量空间运算的12个条件是独立的。#练习1.4（1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？（2）在第二个例子中若将二矢量BA和内积的定义改为sinBA或sin21BA，空间是否仍为内积空间？（3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为4*43*32*21*1432,mlmlmlmlml空间是否仍为内积空间？（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为babadxxxgxfxgxfxdxxgxfxgxf2**)()()(),()()()(),(或空间是否仍为内积空间？（完成人：张伟审核人：赵中亮）解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为A，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：一般情况下，CBCB,即有,CBAsinCBAsinsinCABA=CABA,,所以内积的定义改变之后不是内积空间。（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下：imlmlmlmlmllmlmlmlmlm,432)432(,4*43*32*21*1*4*43*32*21*1*ii．nlmlnlnlnlnlmlmlmlmlnmlnmlnmlnmlnml,,)432()432()(4)(3)(2)(,4*43*32*21*14*43*32*21*144*433*322*211*1iii．mlamlmlmlmlaamlamlamlamlmal,)432(432,4*43*32*21*14*43*32*21*1iv.0||4||3||2||,24232221llllll，对任意l成立若0,0,0,4321lllllll即则必有综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为baxdxxgxfxgxf)()()(),(*后，空间不是内积空间。因为babaxdxxfxdxxfxfxfxf2*)()()()(),(，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的xf积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为badxxxgxfxgxf2*)()()(),(后，空间是内积空间。证明如下:i**2*2*)(),()()()()()(),(xfxgdxxxfxgdxxxgxfxgxfbabaiixhxfxgxfdxxxhxfdxxxgxfxhxgxfbaba),()(),()()()()()(),(2*2*iii)(),()()()()()(),(2*2*xgxfadxxxgxfadxaxxgxfaxgxfbabaiv成立对任意,0)()(),(22badxxxfxfxf若0)()(),(22badxxxfxfxf，则必有0xf综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。#练习1.5若a为复数，证明若a时，Schwartz不等式中的等号成立。（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）证明：当若a时，分别带入Schwartz不等式的左边和右边。左边=2,aa右边=2aa左边=右边，说明当a时，Schwartz不等式中的等号成立。#练习1.6证明当且仅当||||aa对一切数a成立时，与正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。（完成人：赵中亮审核人：张伟）证明：解：当||||aa对一切数a成立时，有22||||aa即),(),(aaaa得),(),(),(),(),(),(),(),(aaaaaaaa即),(),(aa),(),(aa因为a可以取一切数,所以当a取纯虚数时，即aa得),(),(由此得),(只能是实数当a取非零实数时，即aa),(),(只有0),(时，即与正交时才成立所以当||||aa对一切数a成立时，与正交。当与正交时，0),(则0),(),(取a为任意数则0),(),(aa),(),(aa),(2),(2aa),(),(2),(),(),(2),(aaaaaa),(),(),(),(),(),(),(),(aaaaaaaa),(),(aaaa22||||aa得||||aa即||||aa对一切数a成立综上，当且仅当||||aa对一切数a成立时，与正交。在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是矩形。#练习1.7证明：当且仅当对一切数成立时，与正交。（完成人：班卫华审核人：何贤文）证明：因为，两边平方得222222)(0)(22则构成以为变量的二次函数，要使对一切成立，判别式恒小于等于零，即0)(2只需0即0),(),(得0),(所以当对一切数成立时，与正交。练习1.8在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：1111,0111,0011,00014321它们构成一个完全集，试用Schmidt方法求出一组基矢。（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）解：由Schmidt方法，所求基矢：100010001010010010100011111,,,0100010010010100010111,,00100010100010011,0001444433422411443333223113322211122111#练习1.9在上题中，改变四个的次序，取0111,0011,1111,00014321重新用Schmidt方法求出一组基矢。（完成人：何贤文审核人：班卫华）解：由空间中不满足正交归一条件的完全集{4321,,,}，求这个空间的一组基矢{4321,,,}.（1）首先取1为归一化的1：0001111（2）取12122a，选择常数12a使2与1正交，即122121),(),(0a得112a，11102取2为归一化的2：111031222（3）取23213133aa，选择常数13a和23a使3与21,正交，即3131320),(),(32231133归一化的3为112061333（4）取34324214144aaa，选择常数342414,,aaa使4与已选定的321,,正交，即212100),(),(),(43342241144归一化的4为110021444则找到一组基矢为{4321,,,}.#练习1.10在三维位形空间中，i，j，k是在互相垂直的x，y，z三个轴上的单位矢量。取三个归一化的矢量：（高思泽）)(21)(21321kjjii在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。现在改变正交的定义：定义这三个矢量1，2，3互相正交。1.证明：定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一种内积规则。2.求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量1111zkyjxir，2222zkyjxir的内积表为111,,zyx和222,,zyx的函数。3.验证所求的内积规则符合条件（9）～（12）。4.用=)，(ijji验证所求出的内积规则。1证明：在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据矢量的正交性定义，两个矢量ψ和φ的内积为零，即0,。2解：由i，j，k与1，2，3的关系，可得到如下变换：123121222kji由上面的关系得：232222221212321221213112111111231121112)22()()22()2(2)22()()22()2(z